Cálculo 1 Introdução a Limites e Continuidades Prof: MSc. Jonathan Willian Zangeski Novais

Definição intuitiva de limite: Considere a função f(x) = 2x+3 , e tivesse que responder a seguinte pergunta: Para que valor a função vai quando x se aproxima de 1? X f(x) 0,95 4,9 0,96 4,92 0,97 4,94 0,98 4,96 0,99 4,98 X f(x) 1,006 5,012 1,007 5,014 1,008 5,016 1,009 5,018 1,01 5,02 Parece razoável dizer que o valor de f(x) aproxima-se cada vez mais de 5, quando x se aproxima de 1. Ou seja, 5 é o limite da função f quando x tende a 1.

lim 𝑥→1 𝑓 𝑥 =5 lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 =𝐿 Assim: Lê-se: limite de f(x) quando x tende a 1 é 5. De uma forma geral lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 =𝐿

lim 𝑥→1 𝑓 𝑥 =𝑓(1) No início tínhamos a função f(x) = 2x+3, e quando x se aproxima de 1, temos o limite igual a 5. O que acontece se jogarmos o número 1 na função? f(1) = 2 . 1 + 3 = 5 Ou seja: lim 𝑥→1 𝑓 𝑥 =𝑓(1) Mas será que isso vale para qualquer função?

lim 𝑥→2 𝑓 𝑥 =0,25 Considere a f R – {-2 , 2} -> R definida por: Não pode ser zero! f(x) = 𝑥−2 𝑥²−4 Qual o valor da função quando x tente a 2? Parece razoável dizer que: lim 𝑥→2 𝑓 𝑥 =0,25 Mas como validar isso?

lim 𝑥→2 𝑥−2 𝑥²−4 = lim 𝑥→2 𝑥−2 𝑥−2 .(𝑥+2) Por produtos notáveis sabe-se que: lim 𝑥→2 𝑥−2 𝑥²−4 = lim 𝑥→2 𝑥−2 𝑥−2 .(𝑥+2) Com x-2 diferente de zero. Simplificando: lim 𝑥→2 𝑥−2 𝑥²−4 = lim 𝑥→2 𝑥−2 𝑥−2 .(𝑥+2) lim 𝑥→2 𝑥−2 𝑥²−4 = lim 𝑥→2 1 (𝑥+2) lim 𝑥→2 1 (𝑥+2) = 1 2+2 = 1 4 =0,25

lim x→2 f(x) = 0,25 lim x→a f(x) = f(a) Assim vimos que a função não estava definida em x=2, porém obtivemos que lim x→2 f(x) = 0,25 Isso significa que nem sempre o valor de uma função em um determinado ponto é igual ao seu limite nesse ponto. Isto é nem sempre: lim x→a f(x) = f(a)

f(x) = 𝑥²+9 −3 𝑥² lim x→0 f(x) Parece que lim x→0 f(x) =0 Considere a f: R ∗ → R definida por f(x) = 𝑥²+9 −3 𝑥² lim x→0 f(x) Vamos calcular o Parece que lim x→0 f(x) =0 Mas essa não é a resposta correta!

lim 𝑥→0 𝑥²+9 −3 𝑥² = lim 𝑥→0 𝑥²+9 −3 𝑥² 𝑥²+9 +3 𝑥²+9 +3 Considere a f: R ∗ → R definida por lim 𝑥→0 𝑥²+9 −3 𝑥² Aqui precisamos usar um artifício algébrico, multiplicaremos o numerador e o denominador por 𝑥²+9 +3, ficando: lim 𝑥→0 𝑥²+9 −3 𝑥² = lim 𝑥→0 𝑥²+9 −3 𝑥² 𝑥²+9 +3 𝑥²+9 +3

lim 𝑥→0 𝑥²+9 −3 𝑥² = lim 𝑥→0 𝑥²+9 −3 𝑥² 𝑥²+9 +3 𝑥²+9 +3 Fazendo produtos notáveis teremos: lim 𝑥→0 𝑥²+9 −3 𝑥² = lim 𝑥→0 ( 𝑥 2 +9 )²−3² 𝑥² ( 𝑥 2 +9 +3) = lim 𝑥→0 𝑥² 𝑥² ( 𝑥 2 +9 +3) Sabendo que x se aproxima de 0, mas não pode ser 0, temos que 𝑥²≠0 = lim 𝑥→0 𝑥² 𝑥² ( 𝑥 2 +9 +3) = lim 𝑥→0 1 ( 𝑥 2 +9 +3) lim 𝑥→0 𝑥²+9 −3 𝑥² = lim 𝑥→0 1 ( 𝑥 2 +9 +3)

lim 𝑥→0 𝑥²+9 −3 𝑥² = lim 𝑥→0 1 ( 𝑥 2 +9 +3) Note que quando x se aproxima de 0, 𝑥 2 +9 +3 se aproxima de 6. Assim: lim 𝑥→0 𝑥²+9 −3 𝑥² = 1 ( 0²+9 +3) = 1 6

Resumindo, aprendemos hoje que: Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3 lim 𝑥→1 2𝑥+3 =5 lim 𝑥→2 𝑥−2 𝑥²−4 = lim 𝑥→2 1 (𝑥+2) = 1 4 lim 𝑥→0 𝑥²+9 −3 𝑥² = lim 𝑥→0 1 ( 𝑥 2 +9 +3) = 1 6 Falar da indeterminação, passar o exercicio da folha

lim 𝑥→1 𝑥−1 𝑥 −1 Exercício: Calcule os seguintes limites: Resposta 3 lim 𝑥→1 𝑥−1 𝑥 −1 lim 𝑥→2 5𝑥³+4 𝑥−3