Retas

Equação Vetorial Sejam um ponto A=(x1,y1,z1) e um vetor não nulo v=(a,b,c) Teorema: Existe somente uma reta r que passa por A e tem direção de v. Um ponto P=(x,y,z) є r se, e somente se, o vetor AP = (x-x1,y-y1,z-z1) é paralelo a v, isto é AP = tv, para todo t є R

Equação Vetorial Daí, P-A= tv ou P = A + tv Ou em coordenadas (x,y,z)= (x1,y1,z1)+t(a,b,c) que é chamada de equação vetorial da reta r

Exemplo Encontre a equação vetorial da reta que passa por A=(1,-1,4) e tem a direção de v=(2,3,2). Verifique também se o ponto P=(5,5,8) pertence a esta reta

Equações Paramétricas Sabemos que a equação vetorial da reta que passa por A=(x1,y1,z1) e tem direção de v=(a,b,c) é: (x,y,z)= (x1,y1,z1)+t(a,b,c) ou ainda (x,y,z)= (x1+ta,y1+tb,z1+tc)

Equações Paramétricas Usando a igualdade de dois vetores na expressão (x,y,z)= (x1+ta,y1+tb,z1+tc) temos as seguintes equações paramétricas

Exemplo 2 Dado o ponto A(2,3,-4) e o vetor v=(1,-2,3) pede-se: A) escreva as equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v B) Encontrar dois pontos B e C de r de parâmetros t=1 e t=4 respectivamente

Exemplo 2 C) determinar o ponto de r cuja abscissa é 4 D) verificar se os pontos D=(4,-1,2) e E=(5,-4,3) pertencem a r E) Determinar para que valores de m e n o ponto F=(m,5,n) pertence a r

Exemplo 2 F) escrever outros dois sistemas de equações paramétricas de r G) Escrever equações paramétricas da reta s que passa por G=(5,2,-4) e é paralela a r H) Escrever equações paramétricas da reta u que passa por A e é paralela ao eixo y

Reta Definida por 2 Pontos A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem direção do vetor v=AB

Exemplo 3 Escreva as equações paramétricas da reta r que passa por A=(3,-1,2) e B(1,2,4)

Equação Paramétrica de um Segmento de Reta Considere um segmento de reta cujos pontos extremos sejam A=(x1,x2,x3) e B = (y1,y2,y3). Assim as equações paramétricas do segmento de reta tendo por direção o vetor AB, são Para t є [0,1]

Nota Quando t=0 nas equações anteriores (x,y,z)=A Quando t=1 (x,y,z)=B

Equações Simétricas Das equações paramétricas tem-se Supondo que a ≠0, b ≠0 e c ≠ 0 tem-se

Equações Simétricas Como, para cada ponto da reta corresponde um só valor de t obtemos igualdades

Notas As equações do slide anterior são chamadas de equações simétricas da reta que passa por A=(x1,y1,z1) e é paralela ao vetor (a,b,c)

Exemplo Encontre as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A=(3,0,-5) e tem a direção do vetor v=(2,2,-1)

Equações Reduzidas Seja a reta r definida pelo ponto A=(x1,y1,z1) e pelo vetor diretor v=(a,b,c) as equações simétricas da reta são:

Equações Reduzidas A partir destas equações, pode-se expressar duas variáveis em função da terceira. Vamos isolar as variáveis y e z e expressá-las em função de x Estas duas últimas equações são chamadas equações reduzidas da reta

Exemplo Dadas as equações reduzidas da reta y=mx+n, z=px+q, encontre um vetor diretor

Retas paralelas aos planos coordenados Uma reta é paralela a um dos planos x0y ou y0z se seus vetores diretores forem paralelos ao plano correspondente. Neste caso, uma das componentes do vetor é nula

Exemplo Seja a reta r que passa pelo ponto A=(-1,2,4) e tem o vetor diretor v=(2,3,0) Note que a terceira componente de v é nula e a reta é paralela a x0y

Analogamente, uma reta r1 com vetor diretor do tipo v=(a,0,b) é paralela a x0z e uma reta r2 com vetor diretor do tipo v=(0,a,b) é paralela a y0z

Retas paralelas aos eixos coordenados Uma reta é paralela a um dos eixos coordenados 0x,0y ou 0z se seus vetores diretores forem paralelos a i=(1,0,0), j=(0,1,0) ou k=(0,0,1) Neste caso, duas das componentes do vetor são nulas

Exemplo Desenhe a reta que passa por A=(2,3,4) e tem a direção do vetor v=(0,0,3)

Ângulo de duas retas Sejam as retas r1 e r2 com as direções v1 e v2, respectivamente Chama-se ângulo de duas retas o menor ângulo formado pelos vetores diretores Logo, sendo teta este ângulo tem-se:

cosθ = |(u . v)| /( | u | | v |) Com 0<= θ<= pi/2

Exemplo Calcule o ângulo entre as retas r1=: x=3+t,y=t,z=-1-2t r2: (x+2)/-2=(y-3)/1=z/1

Exemplo Verifique se as retas são ortogonais r1: y=-2x+1,z=4x r2: x=3-2t,y=4+t,z=t

Reta ortogonal a duas retas Sejam r1 e r2 duas retas não paralelas com vetores diretores v1 e v2 respectivamente Seja r uma reta com vetor diretor v de tal forma que r é ortogonal a r1 e r é ortogonal a r2

Assim, sabemos que v.v1 =0 e v.v2=0 Um vetor v que satisfaz o sistema anterior é dado por v=v1 x v2

Definido, então, o vetor diretor v, a reta r estará determinada quando for conhecido um de seus pontos

Exemplo Determinar a equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A=(3,4,-1) e é ortogonal às retas r1:(x,y,z)=(0,0,1)+t(2,3,-4) r2: x=5, y=t, z=1-t

Retas coplanares Duas retas r1 :a1(x1,y1,z1),v1=(a1,b1,c1) e r2:a2(x2,y2,z2),v2=(a2,b2,z2) são coplanares se os vetores v1, v2 e a1a2 forem coplanares, isto é, se [v1,v2,a1a2]=0

Exemplo Determine o valor de m para que as retas sejam coplanares R1:y=mx+2,z=3x-1 R2:x=t,y=1+2t,z=-2t

Posição Relativa de duas Retas Duas retas r1 e r2 no espaço podem ser: Paralelas: v1//v2 interseção r1 e r2 é vazia Concorrentes: a interseção de r1 e r2 é {I} onde I é o ponto de interseção. Neste caso as retas tem que ser coplanares

Posição Relativa de duas Retas Reversas: não coplanares. Neste caso a interseção de r1 e r2 é vazia

Exemplo Estudar a posição relativa das retas Primeiro caso R1:y=2x-3,z=-x R2:x=1-3t,y=4-6t,z=3t Segundo caso R1:x/2=(y-1)/-1=z R2:x=2-4t,y=2t,z=-2t+1

Terceiro caso Quarto caso R1:(x-2)/2=y/3=(z-5)/4 R2:x=5+t,y=2-t,z=7-2t R1:y=3,z=2x R2:x=y=z

Interseção de duas retas Se duas retas se interceptam, elas são coplanares, isto é, estão situadas no mesmo plano. Neste caso, são ditas concorrentes Se duas retas não são coplanares, elas são ditas reversas. Supõe-se que as retas não são paralelas

Exemplo Verifica se as retas r1 e r2 são concorrentes e, em caso afirmativo, determinar o ponto de interseção Primeiro caso r1:y=-3x+2,z=3x-1 r2:x=-t,y=1+2t,z=-2t