AULA 8 – CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA II Curvas Fonte: Anton, Flemming, Stewart, Thomas, Buske Definição Representação paramétrica de curvas: Representação paramétrica de uma reta Representação paramétrica de uma circunferência Representação paramétrica de uma elipse Representação paramétrica de uma hélice circular Parametrização de outras curvas

Curvas – definição:

Exemplo: Descrever a trajetória L de um ponto móvel P, cujo deslocamento é expresso por Na tabela apresentamos os vetores posição de alguns pontos da trajetória L, que pode ser visualizada na figura do slide seguinte.

Representação paramétrica de curvas Sejam x = x(t) y = y(t) z = z(t) funções contínuas de uma variável t, definidas para t ϵ [a,b]. Estas equações são chamadas equações paramétricas de uma curva e t é chamado parâmetro. Para obter a equação vetorial basta considerar o vetor posição r(t) de cada ponto da curva. As componentes de r(t) são precisamente as coordenadas do ponto, ou seja, r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k , a ≤ t ≤ b OBS.: se as funções forem constantes, a curva degenera-se em um ponto.

Exemplo 1: Exemplo 2: Exemplo 3:

Definição: Curva plana Uma curva plana é uma curva que está contida em um plano no espaço. Uma curva que não é plana chama-se curva reversa. As curvas dos exemplos 1 e 3 anteriores são planas e a curva 2 é reversa. Definição: Curva fechada Uma curva parametrizada r (t), t ϵ [a,b], é dita fechada se r (a) = r (b). Se a cada ponto da curva corresponde um único valor do parâmetro t (exceto quando t = a e t = b), dizemos que a curva é simples.

Exemplo 1: Exemplo 2: Esboços de curvas fechadas simples: Esboços de curvas fechadas que não são simples:

Parametrização de uma reta:

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Parametrização de uma circunferência:

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Parametrização de uma elipse:

Exemplo 1: Exemplo 2: Fazer ...

Parametrização de uma hélice circular: Enrolemos à volta da superfície um triangulo flexível ABC de modo que A seja o ponto (a,0,0) e que o lado AB se enrole sobre a seção do cilindro no plano xy. A hipotenusa AC determina, então, sobre a superfície cilíndrica, uma curva chamada hélice circular.

OBS.: A equação acima representa a equação da hélice esboçada na figura anterior, e, portanto m > 0. Sua forma lembra um parafuso de rosca à direita. De maneira análoga pode-se deduzir a equação para m < 0 de forma a representar a figura ao lado que lembra um parafuso de rosca à esquerda.

Parametrização de outras curvas: Como vimos, uma curva pode ser representada por equações paramétricas ou por uma equação vetorial. Existem outras formas de representação de uma curva. Por exemplo, o gráfico de uma função contínua y = f(x) representa uma curva no plano xy. A intersecção de duas superfícies representa, em geral, uma curva no plano ou no espaço. A seguir, encontraremos uma representação paramétrica para algumas curvas dadas como intersecção de duas superfícies. A partir de uma representação paramétrica também obteremos a representação gráfica de algumas curvas.

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Exemplo 3: Fazer ... Resposta: Elipse no plano yz

Exemplo 4: