8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Parte 1 8.1 – INTRODUÇÃO – PVI’s 8.2 – MÉTODOS DE PASSO SIMPLES 8.2.1 – MÉTODO DE EULER 8.2.2 – MÉTODOS DE TAYLOR 8.2.3 – MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA 8.3 – MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO 8.4 – MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR 8.5 – EDO’s DE ORDEM SUPERIOR E SISTEMAS DE EDO’s 8.6 - PVC’s E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS hoje

8. EDO’s 8.1 INTRODUÇÃO Problemas de Valores Iniciais (PVI’s) Se dada uma EDO de ordem n, a função, assim como suas derivadas até ordem n-1, são especificadas em um único ponto, então temos um problema a valores iniciais. Exemplo:

8. EDO’s 8.1 INTRODUÇÃO Problemas de Valores no Contorno (PVC’s) Se para uma dada EDO de ordem n, as n condições forem dadas em diferentes pontos, então temos um problema a valores no contorno. Ao contrário dos PVI’s, os PVC’s podem não apresentar unicidade de solução.

8. EDO’s 8.1 INTRODUÇÃO Exemplo de PVC’s. 1- Seja um barra de comprimento L sujeita a uma carga uniforme q. Se em x=0 ela está fixada e em x=L ela está apoiada, então temos o problema

8. EDO’s 8.1 INTRODUÇÃO PVC’s sem unicidade na solução. 2- O problema tem como solução

8. EDO’s 8.1 INTRODUÇÃO Nesta primeira parte do estudo de EDO’s abordaremos métodos para resolução de PVI’s de primeira ordem. Dado o PVI construiremos , para simplificar igualmente espaçados, ou seja, e calculamos as aproximações neste pontos.

8. EDO’s 8.1 INTRODUÇÃO Se para calcular , usamos apenas , então dizemos que o Método é de Passo Um ou de Passo Simples. Porém se usarmos mais valores teremos um Método de Passo Múltiplo. Para PVI’s de primeira ordem temos que é uma aproximação inicial para a solução. Problema auto-iniciante. Para Métodos de Passos Múltiplos deve-mos ter estratégias para as aprox. iniciais.

8. EDO’s 8.1 INTRODUÇÃO Os Métodos de Passos Simples têm as seguintes características: Deve-se calcular os valores de e de suas derivadas em muitos pontos. Fator negativo. 2) A estimativa dos erros não é trivial.

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Considere o PVI Suponha que exista uma única solução do problema no intervalo de interesse. Reescrevendo (1) no ponto

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Direto Aproximando a derivada em (2) pelo quociente de diferenças para frente (ou direto), obtemos Substituindo por seus valores aproximados, , temos a fórmula de Euler:

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Direto Outra maneira para obter a fórmula de Euler é escrever o problema (1) como uma equação integral. Integrando (1) de

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Direto Se aproximarmos a integral substituindo E como , então

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Direto A integral em (5) é a área abaixo da curva ver- melha. No Método de Euler Direto é a área lilas.

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Direto Note que quanto menor forem as partições, melhor será a convergência do Método de Euler. O Erro da fórmula de Euler pode ser majorado através da fórmula de Taylor. Seja ERRO

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Direto Note que sendo então o erro devido ao truncamento de Euler é majorado por

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Direto Exemplo 1: Considere o problema de valor inicial A solução exata é dada por Utilizando a fórmula de Euler (direta) e passos determine a solução do problema no intervalo

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Direto Solução por Euler direta de t h=0.05 h=0.025 h=0.01 h=0.001 Exata 0.0 1.0000000 0.1 1.5475000 1.5761188 1.5952901 1.6076289 1.6090418 0.2 2.3249000 2.4080117 2.4644587 2.5011159 2.5053299 0.3 3.4333560 3.6143837 3.7390345 3.8207130 3.8301388 0.4 5.0185326 5.3690304 5.6137120 5.7754845 5.7942260 0.5 7.2901870 7.9264062 8.3766865 8.6770692 8.7120041 1.0 45.588400 53.807866 60.037126 64.382558 64.897803 1.5 282.07187 361.75945 426.40818 473.55979 479.25919 2.0 1745.6662 2432.7878 3029.3279 3484.1608 3540.2001

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Direto Note que os erros gerados em t=2.0 são grandes! Para h=0.001, ou seja, 2000 subinterva-los, temos um erro acumulado de 1.6% Como

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Direto O erro devido ao truncamento local é Para ir de t=1.95 a t=2.0, quando h=0.05, Para obter um erro local de truncamento de 0.01 neste problema necessitamos de h=0.0006 em torno de t=2 e h=0.03 em torno de t=0. Tais métodos com erros constante são chamados ADAPTATIVOS.

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Inverso Uma variante do método de Euler, chamado Método de Euler Inverso, consiste em aproximar a derivada em pelo quociente de diferenças para trás (ou inverso)

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Inverso Substituindo por seus valores aproximados, e fazendo temos a fórmula de Euler inversa Note que a fórmula de Euler inversa fornece o valor de de forma implícita.

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Inverso A integral em (5) é a área abaixo da curva verme- lha. No Método de Euler Inverso é a área verde.

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Inverso Exemplo 2: Considere o problema de valor inicial A solução exata é dada por Utilizando a fórmula de Euler (inversa) e passos determine a solução do problema no intervalo

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Inverso Solução por Euler inversa de é dada pela fórmula de Euler inversa O primeiro passo gera: Continuando, temos a tabela:

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Inverso Solução por Euler inversa de t h=0.05 h=0.025 h=0.01 h=0.001 Exata 0.0 1.0000000 0.1 1.6929688 1.6474375 1.6236638 1.6104634 1.6090418 0.2 2.7616699 2.6211306 2.5491368 2.5095731 2.5053299 0.3 4.4174530 4.0920886 3.9285724 3.8396379 3.8301388 0.4 6.9905516 6.3209569 5.9908303 5.8131282 5.7942260 0.5 10.996956 9.7050002 9.0801473 8.7472667 8.7120041 1.0 103.06171 80.402761 70.452395 65.419964 64.897803 1.5 959.44236 661.00731 542.12432 485.0825 479.25919 2.0 8934.0696 5435.7294 4172.7228 3597.4478 3540.2001

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Aprimorado Note que tanto o método de Euler direto quanto o inverso geram erros acumulativos quando t cresce. No exemplo o erro foi da ordem de 1.2%. Os Métodos adaptativos de Euler são uma solução, contudo teremos uma sub-rotina para calcular o tamanho do passo para cada n. Fórmula de Euler Aprimorada ou centrada aproxima a função f na integral por uma média.

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Aprimorado A fórmula de Euler Aprimorada escreve-se como: Os erros são menores e convergência é mais rápida neste caso.

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Aprimorado A integral em (5) é a área abaixo da curva vermelha. No Método de Euler Aprimorado é a área amarela.

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Aprimorado A solução por Euler Aprimorado de é dada pela fórmula também conhecida como fórmula de Heun. Calculando temos a tabela:

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Aprimorado Solução por Euler aprimorado de t h=0.05 h=0.025 h=0.01 h=0.001 Exata 0.0 1.0000000 0.1 1.5952901 1.6076289 1.6079462 1.6088585 1.6090418 0.2 2.4644587 2.5011159 2.5020618 2.5047827 2.5053299 0.3 3.7390345 3.8207130 3.8228282 3.8289146 3.8301388 0.4 5.6137120 5.7754845 5.7796888 5.7917911 5.7942260 0.5 8.3766865 8.6770692 8.6849039 8.7074637 8.7120041 1.0 60.037126 64.382558 64.497931 64.830722 64.897803 1.5 426.40818 473.55979 474.83402 478.51588 479.25919 2.0 3029.3279 3484.1608 3496.6702 3532.8789 3540.2001

8. EDO’s 8.2.1 Método de Euler Aprimorado O Método de Euler Aprimorado fornece resultados muito melhores do que aqueles de Euler Direto e Inverso. O Método de Euler Aprimorado Adapta-tivo fornece melhores resultados através da variação no tamanho dos passos. Neste procedimento, variando o tamanho dos passos, mantemos constante o erro de truncamento local da aproximação