Geometria Computacional Prof. Walter Mascarenhas Segundo semestre de 2004 Aula 9

Decomposição em partes convexas Convexo = simples Não convexo = complexo

Ser convexo é: Ser intersecção de semiplanos Ter ângulos internos <= 180 Ter Pontos internos ligados por segmentos internos

Custo baixo: teórico O(n). Esperado O(n log*n) na prática. Qualidade: ruim, n - 2 partes Primeira tentativa: triangulação.

Custo baixo: teórico O(n). Esperado O(n log*n) na prática. Qualidade: 2 r + 1 partes, r = número de ângulos reversos Segunda tentativa: juntar triângulos (Hertel and Mehlhorn).

Hertel and Mehlhorn: juntar quais triângulos? Analise o “V” pontilhado associado a cada vértice reverso. 1- Se o “V” contiver diagonais, escolha uma delas e pinte-a de magenta. 2- Se o “V” não contiver diagonal alguma, pinte a diagonal mais próxima do “V” de cada lado de magenta. 3- Apague as diagonais que não foram pintadas de magenta.

Número de diagonais <= 2 r implica em número de faces <= 2 r + 1. Neste caso é melhor: r = 4 e nFaces = 7 < 9 Poderia ser melhor? Hertel and Mehlhorn: resultado final

Número de diagonais <= 2 r implica em número de faces <= 2 r + 1. Neste caso é melhor: r = 4 e nFaces = 7 < 9 Poderia ser melhor? Hertel and Mehlhorn: resultado final

Poderia ser ainda melhor? Pode melhorar? Sim, escolha outra triangulação:

Pode melhorar? Só com diagonais não. Pode melhorar?

Pode melhorar? De jeito nenhum! Prova: cada “V” pontilhado tem que conter pelo menos um lado de uma parte convexa. Como os “V”s pontilhados são disjuntos, eles devem conter pelo menos 4 lados. Isto implica em pelo menos 5 partes convexas.

Teorema: o número mínimo de faces convexas é r/ Prova: cada vértice reverso tem que ser “quebrado” pelo menos uma vez. Uma diagonal quebra no máximo 2 vértices. Logo pelo menos r/2 diagonais deverão permanecer. Isto dá r/2 + 1 faces. Casos gerais Teorema: é sempre possível obter r + 1 partes convexas. Prova: trace as bissetrizes dos vértice reversos, uma a uma. As r bissetrizes vão levar a r + 1 partes convexas. Corolário: O algoritmo de Hertel & Mehlhorn erra por um fator de no máximo 4 ~ (2 r + 1) / (r/2 + 1).

Exemplos: pontos internos

Hertel and Mehlhorn pode atingir o fator 4:

Uma proposta de algoritmo O(n logn) que erra no máximo um fator de 2

Estruturas de dados 1- Array de listas duplamente ligadas para representar os polígonos em construção 2- Heap para determinar a o ordem dos eventos 3- Árvore balanceada para administrar os cortes da scanline

Uma proposta de algoritmo O(n logn) que erra no máximo um fator de 2. Eventos: novo lado

Uma proposta de algoritmo O(n logn) que erra no máximo um fator de 2. Eventos: novo máximo local

Uma proposta de algoritmo O(n logn) que erra no máximo um fator de 2. Eventos: novo mínimo local

Uma proposta de algoritmo O(n logn) que erra no máximo um fator de 2. Evento: lado cruza V

Uma proposta de algoritmo O(n logn) que erra no máximo um fator de 2. Evento: V cruza V