Gradiente Topológico via Análise de Sensibilidade à Mudança de Forma na Otimização Topológica Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Mecânica Departamento de Projeto Mecânico

Divisão da Apresentação Motivação Problema Elíptico de Valor no Contorno Definição do Gradiente Topológico Análise de Sensibilidade à Mudança de Forma Cálculo do Gradiente Topológico via ASMF Gradiente Topológico na Elasticidade Aplicação Conclusão Divisão da Apresentação

Automação dos Projetos OTIMIZAÇÃO DE FORMA PARAMETRIZAÇÃO DA GEOMETRIA OTIMIZAÇÃO EM RELAÇÃO AOS PARÂMETROS FORMA ÓTIMA OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA NENHUMA OU QUASE NENHUMA SUPOSIÇÃO SOBRE A MORFOLOGIA INICIAL Motivação

Contribuições Contribuições no campo da Otimização Topológica: Caracterizando a topologia por uma densidade de material a ser determinada; Caracterizando a morfologia de um componente por meio de um parâmetro geométrico . Motivação

Gradiente Topológico Proposta de obter a topologia ótima através do cálculo do GT. O GT é uma função definida no domínio que fornece a sensibilidade de uma função custo ao se criar um furo no domínio. Cálculo do GT via Análise de Sensibilidade à Mudança de Forma. Motivação

Problema Elíptico de Valor no Contorno f  D N domínio aberto e limitado   N, cujo contorno =N  D (N  D= 0) é suficientemente regular. domínio está submetido a excitações f  L2 (N), b  L2 e com restrições na variável primal u no contorno D. PEVC

Forma Variacional O problema pode ser escrito na forma variacional: Espaço das funções: PEVC

Elementos Finitos Maneira geral e sistemática de construir famílias de subespaços Uhp  U: Forma final obtida em PEVC: PEVC

Definição do Gradiente Topológico   n  Definição do Gradiente Topológico

Definição do Gradiente Topológico Gradiente Topológico Modificado   n Definição do Gradiente Topológico

Análise de Sensibilidade à Mudança de Forma Perturbação no domínio: Novo domínio e contorno: Relação entre domínios (pequena perturbação): ASMF

Função Custo Sensibilidade da função custo: Definição da função custo: Derivada da função custo: ASMF

Método Lagrangeano Problema de minimização: Uma vez que a equação de estado é satisfeita: ASMF

Cálculo das Derivadas Em uma direção: Na outra direção: Então: ASMF

Cálculo do Lagrangeano Utilizando-se da solução da eq. de estado e da adjunta: Para uma vasta classe de problemas: ASMF

Cálculo do GT via ASMF Função custo definida nos domínios: Considerando a transformação entre os domínios: GT via ASMF

Forma Final do GT O gradiente pode ser expresso da seguinte forma: Considerando uma expansão no furo: gT GT via ASMF

Formulação Equilíbrio: Equação Constitutiva: GT na Elasticidade

Na Forma Variacional Problema elíptico de valor contorno: Descrevendo os operadores: GT na Elasticidade

Cálculo do GT Expressão para o cálculo da sensibilidade da função custo: Função custo (energia interna): GT na Elasticidade

Cálculo do GT Derivada do Lagrangeano: Considerando GT na Elasticidade

Cálculo do GT Como Da forma GT na Elasticidade

Cálculo do GT Adotando GT na Elasticidade

Algoritmo Aplicação Seja a seqüência Fornecer domínio inicial e a restrição; Enquanto a função objetivo não for cumprida: encontrar as soluções direta e adjunta; calcular o gradiente topológico; criar furos; definir novo domínio incrementar K; Neste ponto, espera-se estar com a topologia ótima. Aplicação

Exemplo Aplicação Chegou-se a forma ótima de um projeto já consagrado. Definição do problema. Malha Resultado Aplicação

Conclusões Metodologia apresentada conduz a uma formulação bastante geral para obtenção do Gradiente Topológico; A formulação pode ser aplicada em casos de Condições de Dirichlet no furo (caso onde o gradiente topológico contém singularidades); Extensão da metodologia a outros problemas de Engenharia (Sólidos - não linearidades, Fluidos, Eletromagnetismo) é possível. Conclusão