Lógica Proposicional

Sintaxe (uma revisão mais formal) Def.1  Um alfabeto  é um conjunto qualquer de símbolos. Def. 2  Dado um alfabeto , uma palavra (ou cadeia) sobre  é uma sequência finita de símbolos de . Def. 3  Uma linguagem sobre um alfabeto , L(), é um conjunto qualquer de palavras sobre .

Sintaxe (uma revisão mais formal) Def. 4  Um alfabeto proposicional  consiste da união dos seguintes conjuntos de símbolos: (i) conjunto de símbolos lógicos:  pontuação: ( , )  conectivos: ~(negação), &(conjunção), (disjunção), (implicação) e (bi-implicação) (ii) conjunto de símbolos não-lógicos:  conjunto enumerável de símbolos proposicionais

Sintaxe (uma revisão mais formal) Def. 5  O conjunto das fórmulas proposicionais sobre um alfabeto proposicional  é o menor conjunto de palavras sobre  satisfazendo as condições: todo símbolo proposicional P   é uma fórmula (fórmula atômica) sobre . se P e Q são fórmulas sobre , então (~P), (P & Q), (P  Q), (P  Q) e (P  Q) são fórmulas sobre .

Sintaxe (uma revisão mais formal) Def. 6  Uma fórmula a é uma sub-fórmula de uma fórmula  se e somente se a é  ou a ocorre em . Def. 7  Uma linguagem proposicional sobre um alfabeto , L(), é o conjunto das fórmulas proposicionais sobre .

Convenções Adotadas Objeto Sintático Convenção Notacional Alfabeto  Símbolos Proposicionais P, Q, R, ... Conjuntos de Símbolos Proposicionais Fórmulas , , , ... Conjuntos de Fórmulas , , , ... Linguagem Proposicional L()

Convenção sobre omissão de parênteses Parênteses mais externos podem ser omitidos Ex.: P & Q é (P & Q) Negação aplica-se à menor fórmula possível Ex.: ~P & Q é ((~P) & Q) e não ~(P & Q) Conjunção e disjunção aplicam-se à menor fórmula possível Ex.: P & Q  R é (P & Q)  R e não P & (Q  R) Agrupamento pela direita quando houver repetição de conectivos Ex.: P & Q  R é (P & (Q  R))

Exemplo: Formalizar o problema que segue Descrição da situação: “Suponhamos que Sócrates estaria disposto a visitar Platão, se Platão estivesse disposto a visitá-lo; e que Platão não estaria disposto a visitar Sócrates, se Sócrates estivesse disposto a visitá-lo, mas estaria disposto a visitar Sócrates, se Sócrates não estivesse disposto a visitá-lo”. Pergunta: Sócrates está ou não disposto a visitar Platão?

Continuação do Exemplo: Formalização da situação: Escolhendo um P = {P, Q} com o seguinte significado: P : Sócrates está disposto a visitar Platão. Q : Platão está disposto a visitar Sócrates. A situação pode ser descrita por: Sócrates: (Q  P) Platão: (P  ~Q) & (~P  Q) Então, a pergunta pode ser posta na seguinte forma: {(Q  P), (P  ~Q) & (~P  Q)} |= P ou ? {(Q  P), (P  ~Q) & (~P  Q)} |= ~P

Continuação do Exemplo: Como Provar qual das respostas está correta? Como a Lógica Proposicional é um sistema formal coerente e completo pode-se provar por Derivação ou por Implicação Lógica. a) Por derivação (|- ). A partir das premissas deriva-se a resposta certa {(Q  P), (P  ~Q) & (~P  Q)} |- P ou ? {(Q  P), (P  ~Q) & (~P  Q)} |- ~P b) Por Implicação Lógica, |= . Pela atribuição de valores lógico, verifica-se qual das respostas é uma implicação lógica {(Q  P), (P  ~Q) & (~P  Q)} |= P ou ? {(Q  P), (P  ~Q) & (~P  Q)} |= ~P

Continuação do Exemplo: Como Provar qual das respostas está correta? {(Q  P), (P  ~Q) & (~P  Q)} |- P 1. Q  P P 2. (P  ~Q) & (~P  Q) P 3. | ~ P H P/ RAA 4. | ~P  Q 2 ^E 5. | Q 3, 4 MP 6. | P 1, 5 MP 7. | P ^ ~P 3, 6 ^I 8. ~~P 3-7 RAA 9. P 8 ~E Fica provado que “ Sócrates está disposto a visitar Platão” |- ((Q  P) & ((P  ~Q) & (~P  Q)))  P Não Existe uma prova/derivação para ~P (verifique)

Continuação do Exemplo: Como Provar qual das respostas está correta? b) Para provar por Implicação Lógica, |= {(Q  P), (P  ~Q) & (~P  Q)} |= P ou ? {(Q  P), (P  ~Q) & (~P  Q)} |= ~P E necessário atribuir valores verdade (semântica) às fórmulas, e verificar qual das respostas (conclusão) é uma implicação lógica das premissas.

Semântica da Lógica Proposicional As fórmulas de uma linguagem proposicional têm como significado os valores-verdade (ou valores-lógicos) VERDADEIRO (V) ou FALSO (F). Como atribuir um valor-verdade às fórmulas?

Semântica Def. 8  Seja  um alfabeto proposicional e P o conjunto de símbolos proposicionais de . Uma atribuição de valor-verdade para  é uma função de atribuição: v : P  {V, F} também chamada uma interpretação para .

Semântica A função de avaliação para L() induzida por v é a função: Def. 9  Seja  um alfabeto proposicional e v uma interpretação para . A função de avaliação para L() induzida por v é a função: v´: L()  {V, F} v´ é definida da seguinte forma:

Semântica Continuação da Def. 9: v´(P) = v (P), se P é um símbolo proposicional de  v´(~ ) = V, se v´() = F = F, se v´() = V v´( & ) = V, se v´() = v´() = V = F, nos outros casos

Semântica Continuação da Def. 9: v´(  ) = V, se v´() ou v´() = V = F, se v´() = v´() = F v´(  ) = F, se v´() = V e v´() = F = V , nos outros casos v´(  ) = V, se v´() = v´() = F, se v´()  v´()

Tabela da Semântica dos Conectivos Lógicos P Q ~P P & Q P  Q P  Q P  Q V F

Exemplo  = (P  ~Q) & (~P  Q) P Q ~P ~Q P  ~Q ~P  Q (P  ~Q) & (~P  Q) v 1 V F v 2 v 3 v 4 v´() = v´((P  ~Q) & (~P  Q)) = V a avaliação de , v’ , é Verdadeira para as interpretações 2 e 3.

Semântica Def. 10: ( alfabeto, G conjunto de fórmulas e  fórmula).  é verdadeira em uma atribuição de valor-verdade v (interpretação) para  sse v () = V  é válida (tautologia) (|=  ) sse v () = V ( é verdadeira) para toda interpretação v para 

Semântica Def. 10: ( alfabeto, G conjunto de fórmulas e  fórmula). uma atribuição de valor-verdade v satisfaz G (v é um modelo para G; v deixa G verdadeira) sse para toda   G, v´() = V (v satisfaz ) G é satisfatível (consistente) sse existe uma atribuição de valor-verdade v para G que satisfaz G. G é insatisfatível (inconsistente) ( | G ) sse não for satisfatível.

Semântica Sumário da classificação das fórmulas (Def. 10: ) a) VÁLIDA (TAUTOLOGIAS (|=  )) FÓRMULA b1) SATISFATÍVEL (CONSISTENTE) b) INVÁLIDA b2) INSATISFATÍVEL ( | G ) (INCONSISTENTE, CONTADIÇÃO)

Exemplos v 1 v 2 a = ~(~P)  P v 1 v 2 v 3 v 4 G = {P, P  Q} P ~P F v 2 G = {P, P  Q} P Q P  Q v 1 V v 2 F v 3 v 4

Semântica a é uma consequência lógica (implicação lógica) de G Def. 11  Seja  um alfabeto proposicional, a uma fórmula sobre  e G um conjunto de fórmulas de L(). a é uma consequência lógica (implicação lógica) de G (G |= a ) se e somente se, para toda atribuição de valor-verdade v, se v satisfaz G então v satisfaz a. “Argumento dedutível válido: se as premissas forem verdadeiras, é impossível a conclusão ser falsa”

Exemplo G = {P, P  Q} e a = Q; observe que G |= a P Q P  Q v 1 V v 2 F v 3 v 4

Método de Prova: Tabelas Verdade Provar que uma fórmula a é consequência lógica de um conjunto G de fórmulas é um problema decidível.

Tabelas Verdade Procedimento de decisão: Se G é um conjunto finito de fórmulas e a é uma fórmula. então o número de símbolos proposicionais ocorrendo em G e a é finito (digamos n). logo, há um número finito de interpretações (atribuições de valor-verdade) distintas para estes símbolos ( = 2n). Assim, para decidir (provar) G |= a basta enumerar todas as interpretações e, para cada uma delas que satisfizer G, verificar se ela também satisfaz a.

Retornado a questão do nosso Exemplo: Sócrates está ou não disposto a visitar Platão? A descrição da situação: Sócrates: (Q  P) Platão: (P  ~Q) & (~P  Q) A pergunta: {(Q  P), (P  ~Q) & (~P  Q)} |= P ou ? {(Q  P), (P  ~Q) & (~P  Q)} |= ~P A Resposta pode ser obtida pela tabela verdade.

Exemplo A resposta: ou seja, {(Q  P), (P  ~Q) & (~P  Q)} |= P P Q v 1 V F v 2 v 3 v 4 ou seja, {(Q  P), (P  ~Q) & (~P  Q)} |= P

Teorema da Dedução Teorema 1: (Teorema da Dedução) Sejam dadas as fórmulas a1 , ... , an e b. Então, { a1 , ... , an } |= b sse |= (a1 & ... & an)  b. Consequência Lógica Tautologia Assim a fórmula (a1 & ... & an)  b é chamada de um teorema, as fórmulas a1 , ... , an são as hipóteses e a fórmula b é a conclusão do teorema.

Teorema da Dedução Teorema 2: Sejam dadas as fórmulas a1 , ... , an e b.Então, { a1 , ... , an } |= b sse | (a1 & ... & an & ~b) Consequência Lógica Contradição Provar que uma fórmula a é consequência lógica de um conjunto de fórmulas G é equivalente a provar que a fórmula (G & ~a ) é insatisfatível. Esse tipo de prova é chamada Prova por Refutação.

Equivalência Lógica Def. 12 G é tautologicamente equivalente a  sse toda fórmula de G for consequência lógica de  e vice-versa. Se G e  são finitos: G = {a1 , ... , an} e  = {b1 , ... , bm}, G e  são tautologicamente equivalentes sse (a1 & ... & an)  (b1 & ... & bm) for uma tautologia, ou seja: G |=|  sse |= (a1 & ... & an)  (b1 & ... & bm)

eliminação da dupla negação Equivalência Lógica Pares de fórmulas (A e B) tautologicamente equivalentes (“leis” da lógica): A B a* (b * c) ( * ) *  associatividade  *   *  comutatividade  & (  ) ( & )  ( & ) distributividade   ( & ) (  ) & (  ) “ ~(~)  eliminação da dupla negação

Equivalência Lógica Continuação “leis” da lógica: B    ~   Implicação Material ~(  )  & ~ “ ~( & ) ~  ~ Lei De Morgan ~(  ) ~ & ~    (  ) & (  )

Equivalência Lógica Continuação “leis” da lógica: Considere as seguintes representações dos valores verdade V = ▪ e F =  A B     Lei da Identidade  & ▪ “   ▪ ▪ Lei do Valor Predominante  &    & ~   ~

Formas Normais Def. 13  Se a1 , ... , an são fórmulas, então a fórmula a1 & ... & an é chamada a conjunção de a1 , ... , an e a fórmula a1  ...  an é chamada a disjunção de a1 , ... , an . Def. 14  Um literal é uma fórmula atômica ou a negação de uma fórmula atômica. Def. 15  Uma fórmula a é dita estar na forma normal conjuntiva se e somente se a tem a forma a1 & ... & an , n  1, onde cada ai , i  n, é uma disjunção de literais.

Formas Normais Def. 16  Uma fórmula a é dita estar na forma normal disjuntiva se e somente se a tem a forma a1  ...  an, n  1, onde cada ai , i  n, é uma conjunção de literais. Toda fórmula pode ser transformada para uma forma normal.

Algoritmo para obtenção da Forma Normal Passo 1: Usar as “leis”: a  b |=| (a  b) & (b  a) a  b |=| ~ a  b para eliminar os conectivos  e 

Algoritmo para obtenção da Forma Normal Passo 2: Usar repetidamente a “lei”: ~(~a) |=| a e as “leis” de De Morgan: ~( a & b) |=| ~ a  ~ b ~( a  b) |=| ~ a & ~ b para colocar o símbolo de negação imedia-tamente antes das fórmulas atômicas.

Algoritmo para obtenção da Forma Normal Passo 3 Usar repetidamente as “leis”: a & (b  c) |=| (a & b)  (a & c) a  (b & c) |=| (a  b) & (a  c) e as outras “leis” para obter a forma normal.

Forma Normal = ~(P ^ (~Q v R) ) v S = (~P v ~(~Q v R) ) v S Exemplo: Obter a Forma Normal Conjuntiva de (P ^ (Q → R) ) → S = ~(P ^ (~Q v R) ) v S = (~P v ~(~Q v R) ) v S = (~P v (Q ^ ~R) ) v S = ((~P v Q) ^ (~P v ~R) ) v S = (S v ~P v Q) ^(S v ~P v ~ R)

Forma Normal = ~(P ^ (~Q v R) ) v S = (~P v ~(~Q v R) ) v S Exemplo: Obter a Forma Normal Disjuntiva de (P ^ (Q → R) ) → S = ~(P ^ (~Q v R) ) v S = (~P v ~(~Q v R) ) v S = (~P v (Q ^ ~R) ) v S = ~P v (Q ^ ~R) v S

Forma Normal |= ( (P → Q) ^ P ) → Q = ~( (~P v Q) ^ P) ) v Q Exemplo: Use as Formas Normais para provar a tautologia Modus Ponens. |= ( (P → Q) ^ P ) → Q = ~( (~P v Q) ^ P) ) v Q = (~ (~P v Q) v ~P) ) v Q = ((P ^ ~Q) v ~P ) v Q = ((P v ~P) ^ (~Q v ~P)) v Q = ( ▪ ^ (~Q v ~P)) v Q = (~Q v ~P) v Q = (~Q v Q) v ~P = ▪ v ~P = ▪

Exemplo de um Problema: Síntese Química Descrição da situação: Supor que podemos realizar as seguintes reações químicas: MgO + H2 –> Mg + H2O C + O2 –> CO2 CO2 + H2O –> H2CO3 Supor ainda que temos alguma quantidade de MgO, H2, O2 e C. Queremos mostrar que podemos obter H2CO3.

Exemplo de um Problema: Síntese Química Formalização do problema: considerar MgO, H2, O2 , C, Mg, H2O e H2CO3 fórmulas atômicas representar as reações químicas pelas fórmulas: a 1 : (MgO & H2)  (Mg & H2O) a 2 : (C & O2)  CO2 a 3 : (CO2 & H2O)  H2CO3 representar o fato de ter MgO, H2, O2 e C pelas fórmulas atômicas: a 4 : MgO a 5 : H2 a 6 : O2 a 7 : C

Exemplo de um Problema: Síntese Química Resolver a Questão é verificar a seguinte implicação Lógica: {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 } |= H2CO3 ? que pode ser também colocado como: | a 1 & a 2 & a 3 & a 4 & a 5 & a 6 & a 7 & ~ H2CO3 ?

Exemplo de um Problema: Síntese Química Poderíamos resolver esse problema através do método da tabela da verdade. No entanto, vamos mostrar um outro método que também utiliza as Formas Normais: Método da Multiplicação. Método da Multiplicação: Numa forma disjuntiva, qualquer conjunção contendo um par complementar (P e ~P) é removida.

a1 & ........ & a 7 & ~H2CO3 = ((MgO & H2)  (Mg & H2O) & ((C & O2)  CO2) & ((CO2 & H2O)  H2CO3) & MgO & H2 & O2 & C & ~ H2CO3 |=| (~MgO  ~H2  Mg) & (~MgO  ~H2  H2O) & (~C  ~O2  CO2) & (~CO2  ~H2O  H2CO3) & MgO & H2 & O2 & C & ~H2CO3 |=| (~MgO  ~H2  Mg) & (~MgO  ~H2  H2O) & MgO & H2 & (~C  ~ O2  CO2) & C & O2 & (~CO2  ~ H2O  H2CO3) & ~ H2CO3 |=| Mg & H2O & MgO & H2 & CO2 & C & O2 & (~CO2  ~H2O) & ~H2CO3 |=| (~CO2  ~H2O) & H2O & CO2 & Mg & MgO & H2 & C & O2 & ~H2CO3 |=|  & Mg & MgO & H2 & C & O2 & ~H2CO3 |=| . onde  representa uma fórmula do tipo (a & ~a) que é sempre inconsistente