Comparando Médias 1. Se um conjunto de medidas(amostra) faz parte de uma população. 1.1 Desvio padrão da população conhecido(teste –z) 1.2 Desvio padrão da população desconhecido(teste-t) 2. Se duas amostras são iguais (teste –t) 2.1 Comparação entre itens pareados 2.2 Amostras independentes Para os casos acima: H0: <m1> =<m2> H1: <m1> ≠<m2> Veremos depois como podemos verificar se uma média é maior do que a outra. Estes testes são chamados de testes direcionais ou testes uni-caudais.

Erros na conclusão TIPO I: Rejeitamos a hipótese nula sendo ela verdadeira. ()  É chamado de nível de significância do teste. TIPO II : Não rejeitamos a hipótese nula sendo ela falsa ( ) Poder : 1-

Exemplo: O diâmetro de uma peça após a nitretação deve ser de 0,2540 cm com desvio padrão de 0,0001cm. Verifica-se a média dos diâmetros de uma amostra com 10 itens é 0,2545 cm. Verifique se a amostra atende a especificação.

Método 1 Usando o limite de confiabilidade : 0 Passo zero: Enunciar as hipóteses: H0: m1= m H1 ( alternativa: ) m1  m 1. Primeiro passo: Identificar o tipo de teste Desvio padrão conhecido : teste z Igualdade de médias: teste não direcional 2. Segundo passo estimar o erro aceitável do tipo I ( alfa) ou nível de significância. É usual escolher alfa=0,05.Se possível determinar beta( probabilidade de erro do tipo 2) 3. Terceiro passo: coletar os dados ( n observações)

Método 1 Usando o limite de confiabilidade cont. 4. Quarto Passo . Calcular o erro padrão (Serro) ATENÇÃO! USAR O DESVIO PADRÃO DA POPULAÇÃO 5. Quinto passo. Calcular os limites de confiabilidade para a média, usando o valor de z ( z crítico) obtido a partir do valor de alfa escolhido : inv.normp(alfa/2) do excel. M+= <m1> + z × Serro e M- = <m1>- z × Serro 6. Sexto passo. Verificar se a média desejada está dentro dos limites calculados. Se estiver, aceita-se (não podemos rejeitar H0) H0 m1 =m Se não estiver, rejeitamos H0 e aceitamos H1 m1  m 7. Sétimo passo: fazer recomendações...( rejeitar lote, fazer mais medidas, aceitar lote, trocar fornecedor, trocar equipamento....)

Exemplo: O diâmetro de uma peça após a nitretação deve ser de 0,2540 cm com desvio padrão de 0,0001cm. Verifica-se que a média dos diâmetros de uma amostra com 10 itens é 0,2545 cm. A amostra atende a especificação? 0 Passo zero: H0: m1= m 0,2545 = 0,2540 H1 ( alternativa: ) 0,2545  0,2540 1. Primeiro passo: Identificar o tipo de teste Desvio padrão conhecido : teste z Igualdade de médias: teste não direcional 2. Segundo passo estimar o erro aceitável do tipo I ( alfa) ou nível de significância. alfa=0,05. 3. Terceiro passo: dados (10 observações com m1= 0,2545 cm)

M+= 0,2545 + 1,96 × Serro e M- = 0,2545- 1,96× Serro Exemplo cont. 4. Quarto Passo . : 5. Quinto passo Calcular os limites de confiabilidade para a média, z= 1,96 M+= 0,2545 + 1,96 × Serro e M- = 0,2545- 1,96× Serro 0s limites são : 0,254438 cm e 0,254562 cm. 6. Sexto passo A média desejada (0,2540 cm) não está dentro dos limites. Rejeitamos H0 e aceitamos H1 m1  m 7. Sétimo passo: fazer recomendações...( rejeitar lote). FIM

Método 2 :usando o valor de z Até o quarto passo os métodos são idênticos. 5. Quinto passo Calcular o valor de z calculado 6. Sexto passo Verificar se o valor de z calculado é maior, em módulo, do que o valor de z crítico obtido de inv.normp(alfa/2). Se for maior, significa que as diferenças são muito grandes e rejeita-se H0 m1 =m e aceitamos H1 m1  m Se for menor, significa que as diferenças são pequenas e devemos aceitar H0 (Não foi possível rejeitar H0) 7. Sétimo passo: fazer recomendações...( rejeitar lote, fazer mais medidas, aceitar lote, trocar fornecedor, trocar equipamento....)

Exemplo 1. Verificar se um conjunto de medidas(amostra) faz parte de uma população. Desvio padrão da população conhecido = 1 1a) Os pontos verdes,( média –1,5) fazem parte da distribuição normal (vermelho =1)?

Solução: Verde: 4 medidas com média – 1,5 Hipóteses: H0 :µ=0 H1: µ 0 Como o desvio padrão da população é conhecido usamos  para calcular o erro standard , O número total de observações já realizadas é muito grande. Supomos distribuição normal e vamos usar =0.05

O valor de z crítico para alfa =0,05 é 1,96 O valor de z crítico para alfa =0,05 é 1,96 .Como o valor de z calculado é maior do que este valor ( 3> 1,96) ( O sinal não interessa neste teste). REJEITAMOS H0: -1,5 = 0. ACEITAMOS H1 –1,5 diferente de 0 O valor de z calculado significa que os valores medidos fazem parte de uma distribuição em que a média está muito afastada do limite de confiabilidade aceitável da média da média da distribuição em vermelho. Este limite de confiabilidade é -1,5 ±1,96 × ½= 1,5 ±0,98  - 2,48 e – 0,52 . O valor zero está fora. FIM. .

Método 3 :usando o valor de alfa Até o quarto passo os métodos são idênticos. 5. Quinto passo Calcular o valor de z calculado 6. Sexto passo Obter o valor de alfa de 2 × dist.normp(z). Se o valor de alfa calculado é menor do que o valor de alfa escolhido , significa que as superposições são pequenas, rejeitamos H0: m1 =m e aceitamos H1 : m1  m Se alfa calculado for maior do que alfa crítico, significa que as superposições são grandes e devemos aceitar H0 7. Sétimo passo: fazer recomendações...( rejeitar lote, fazer mais medidas, aceitar lote, trocar fornecedor, trocar equipamento....)

Exemplo 2. Verificar se um conjunto de medidas(amostra) faz parte de uma população. Desvio padrão da população conhecido = 1 2a) Os pontos amarelos,( média –0,6) fazem parte da distribuição normal (vermelho =1)?

Amarelo: 4 medidas com média – 0,6 Hipóteses: H0 :-0,6=0 H1: µ 0 Como o desvio padrão da população é conhecido usamos  para calcular o erro standard , O número total de observações já realizadas é muito grande. Supomos distribuição normal e vamos usar =0.05 .

O valor de alfa para z = -1,2 ( usa-se o valor negativo no excel) é : 2 × dist.normp(-1,2) = 0,23 ou seja 23 % . Se rejeitássemos H0 a nossa chance de errar teria que ser de pelo menos 23%. Como o valor de alfa calculado é maior do que 0,05 ( valor escolhido como erro aceitável! Note que poderia ser outro valor!!!!!) ACEITAMOS H0: -0,6 = 0. O valor de alfa calculado(maior do que 0,05) significa que os valores medidos fazem parte de uma distribuição em que a média está dentro do limite de confiabilidade aceitável ( com erro de 5%) da média vermelha. Este limite de confiabilidade é -0,6 ±1,96 × ½= -0,6 ±0,98  -1,58 e 0,38. O valor de 0 está dentro do limite. FIM .

Erros na conclusão TIPO I: Rejeitamos a hipótese nula sendo ela verdadeira. ()  É chamado de nível de significância do teste. TIPO II : Não rejeitamos a hipótese nula sendo ela falsa ( ) Poder : 1- Neste exemplo(verdes), rejeitamos a hipótese nula. Existe a possibilidade de ele ser verdadeira. Um erro de 5% foi tomado como aceitável. Observe que, se tivéssemos escolhido um valor de  ~0,003, ainda iríamos rejeitar a hipótese H0. Podemos dizer que as médias são diferentes com um nível de significância de 0,0027.

Erros na conclusão TIPO I: Rejeitamos a hipótese nula sendo ela verdadeira. ()  É chamado de nível de significância do teste. TIPO II : Não rejeitamos a hipótese nula sendo ela falsa ( ) Poder : 1- O valor de  para este teste é 0,78 ( 78%) de chance de termos errado. É um número bem grande. Para usar uma “calculadora de beta” veja o endereço:http://www.health.ucalgary.ca/~rollin/stats/ssize/n1.html