Matrizes Definição Uma matriz é uma tabela com elementos dispostos em forma retangular. Se uma matriz tem m linhas e n colunas dizemos que ela é do tipo m x n. Exemplo: Matriz 14 x 10

Matrizes Definição Exemplo 2: Matriz 4 x 2

Panamericano 2003 - São Domingos Matrizes Linhas Panamericano 2003 - São Domingos Linhas (filas horiz.) Linha 1 Linha 2 Linha 3 Linha 4 Linha 5

Linhas (filas horiz.) Colunas (filas vert.) C O L 1 C O L 2 C O L 3 Matrizes Colunas Linhas (filas horiz.) Colunas (filas vert.) C O L 1 C O L 2 C O L 3

Matrizes Elementos LINHA 4 C O L 1 Elemento a41 a41 = 29

Matrizes Elementos LINHA 5 C O L 2 a52 = 27

Matrizes Representação dos elementos Exemplo: a13= 2 a34= 7 3x5 Cada elemento de uma matriz é representado por aij, sendo i o número da linha do elemento, e j, o da coluna.

As matrizes podem ser classificadas segundo: Classificação Amxn = [aij]mxn As matrizes podem ser classificadas segundo: I) A forma II) A natureza dos elementos

Se o número de linhas é diferente do número de colunas. Matrizes Classificação Segundo a forma em: Amxn = [aij]mxn Retangular Se o número de linhas é diferente do número de colunas. Quadrada Se o número de linhas é igual do número de colunas. Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m. Linha Se o número de linhas é igual a um. Coluna Se o número de colunas é igual a um.

Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Matrizes Classificação Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Real: Todos os seus elementos são reais. Complexa: Pelo menos um dos seus elementos é complexo. Nula: Todos os seus elementos são nulos

Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Matrizes Classificação Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Triangular Superior: Matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são nulos. Triangular Inferior: Matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são nulos.

Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Matrizes Classificação Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Diagonal: Matriz quadrada em que os elementos não principais são nulos. Escalar: Matriz diagonal em que os elementos principais são iguais.

Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Matrizes Classificação Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Simétrica: Os elementos aij são iguais aos aji Densa: A maioria dos seus elementos são não nulos. Dispersa: A maioria dos seus elementos são nulos.

Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo. Denomina-se soma de Operações com Matrizes Soma de Matrizes Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo. Denomina-se soma de A com B uma matriz C, do mesmo tipo, que se obtêm somando os elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição.

goza das seguintes propriedades: Matrizes Operações com Matrizes A soma de matrizes do mesmo tipo goza das seguintes propriedades: Comutativa Associativa Elemento neutro Existência da matriz oposta

Sejam A uma matriz e  um escalar. O produto de  por A é uma matriz C Matrizes Operações com Matrizes Produto por um escalar Sejam A uma matriz e  um escalar. O produto de  por A é uma matriz C , do mesmo tipo de A, que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por 

e os escalares  e  as seguintes propriedades são válidas: Matrizes Operações com Matrizes Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo e os escalares  e  as seguintes propriedades são válidas:

Produto de matrizes Exemplo: 1 2 3 1 2 3 x = 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 Operações com Matrizes Produto de matrizes Exemplo: 1 2 3 1 2 3 x = 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3 =

Matrizes Operações com Matrizes 1 2 3 1 2 3 8 = 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3

Matrizes Operações com Matrizes 1 2 3 1 2 3 8 12 = 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3

Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3

Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3

Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3

Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 29 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3

Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 29 27 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3

O produto de matrizes não é comutativo. Operações com Matrizes Produto de Matrizes Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp. O produto de A por B é uma matriz C do tipo mxp cujos elementos são dados por: e escreve-se C=AB. O produto de matrizes não é comutativo.

Considere as matrizes A, B e C, e  um escalar. Operações com Matrizes Considere as matrizes A, B e C, e  um escalar. Se todos os produtos a seguir indicados forem definidos, as seguintes propriedades serão válidas:

Transposição de Matrizes Operações com Matrizes Transposição de Matrizes Seja A uma matriz de tipo mxn. Denomina-se transposta de A a matriz B do tipo nxm tal que: e escreve-se B=AT

Considere as matrizes A e B e  um escalar. Operações com Matrizes Considere as matrizes A e B e  um escalar. Se todas as operações a seguir indicadas forem definidas, as seguintes propriedades serão válidas: