Prof. Eng. Francisco Lemos Disciplina: Mecânica Geral Momento Vetorial

CORPOS RÍGIDOS: SISTEMAS EQUIVALENTES DE FORÇAS As forças que atuam no corpo rígido pode ser separada em dois grupos: (1) forças externas (2) forças internas) F’

F F’ De acordo com o principio do transmissibilidade duas forças que agem no corpo rígido em dois pontos diferentes têm o mesmo efeito nesse corpo se tiverem o mesmo valor, o mesmo sentido, e a mesma linha de ação.

V = P x Q O produto de dois vetores pode ser definido como: Q V = P x Q q P O produto do vetor P e Q é um vetor V que é perpendicular aos vetores P e Q, de magnitude igual a: V = PQ sin 

P = Px i + Py j + Pz k Q = Qx i + Qy j + Qz k Da definição do produto dois vetores, temos que a o produto entre vetores unitários (i, j, k) é igual a: k i i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k , j x k = i , k x i = j , i x k = - j , j x i = - k , k x j = - i Vamos agora determinar o produto vetorial entre dois vetores P e Q em função de suas componentes cartesianas. P = Px i + Py j + Pz k Q = Qx i + Qy j + Qz k

P = Px i + Py j + Pz k Q = Qx i + Qy j + Qz k V = P x Q = = Vx i + Vy j + Vz k onde Vx = Py Qz - Pz Qy Vy = Pz Qx - Px Qz Vz = Px Qy - Py Qx

MO = r x F MO = rF sin  = Fd Mo F O momento da força F sobre o ponto O é definido como o produto do vetor MO = r x F F Onde r é o is vetor posição e F é a força de aplicada no corpo rígido, e Θ é o ângulo formado entre a linha de ação de r e F. O r  d A A magnitude do momento de F sobre O pode ser escrito como: MO = rF sin  = Fd onde d é a distância perpendicular de O até a linha de ação de F.

Mx = y Fz - z Fy My = zFx - x Fz Mz = x Fy - y Fx Fz k A (x , y, z ) z k As componentes retangulares do momento Mo são determinada através do produto vetorial entre o vetor posição r e a força F. Fy j r Fx i O y j y x i x i x Fx j y Fy k z Fz Mo = r x F = = Mx i + My j + Mzk Onde Mx = y Fz - z Fy My = zFx - x Fz Mz = x Fy - y Fx

rA/B = xA/B i + yA/B j + zA/B k Fz k A (x A, yA, z A) No exemplo ao lado mostra um momento sobre um ponto arbitrário B através de uma força F aplicada em A, por tanto temos: B (x B, yB, z B) Fy j r Fx i O y i xA/B Fx j yA/B Fy k zA/B Fz x MB = rA/B x F = rA/B = xA/B i + yA/B j + zA/B k onde xA/B = xA- xB yA/B = yA- yB zA/B = zA- zB e

MB = (zA- zB )Fy + (yA- yB ) Fz Nos problemas envolvendo duas dimensões, a força F pode ser expressa em função das componentes yz. O momento sobre o ponto B é perpendicular a este plano yz. Fz j z A rA/B Fy i (zA - zB ) i B (yA - yB ) j O y MB = MB x x MB = (zA- zB )Fy + (yA- yB ) Fz

P Q = PQ cos  P Q = Px Qx + Py Qy + Pz Qz O produto escalar entre dois vetores P e Q é definido como: Q  P Q = PQ cos  Onde  é o ângulo formado entre eles. P O produto escalar de P e Q pode ser escrito em termos de suas componentes retangulares como: P Q = Px Qx + Py Qy + Pz Qz

POL = Px cos x + Py cos y + Pz cos z A projeção do vetor P no eixo OL pode ser obtido pelo produto escalar entre P e o vetor unitário A z  P y O y x POL = P  x Usando as componentes retangulares temos: POL = Px cos x + Py cos y + Pz cos z

Sx Px Qx Sy Py Qy Sz Pz Qz S (P x Q ) = O produto misto de tres vetores S, P, e Q é: Sx Px Qx Sy Py Qy Sz Pz Qz S (P x Q ) = Os elementos do determinante são as componentes retangulares dos tres vetores.

MOL =MO =(r x F) = z L O momento de uma força F sobre uma linha central OL é a projeção OC em OL do momento MO da força F. Isto pode ser escrito como um produto triplo. MO F C  A (x, y, z) r y O x x Fx y y Fy z z Fz x MOL =MO =(r x F) = x, y , z = cosseno diretor do eixo OL x, y , z = componentes de r Fx, Fy , Fz = componentes de F

M - F d F Binário – quando duas forças F e - F que têm o mesmo valor, as linhas de ação paralelas, e o sentido oposto. O momento de um binário é independente do ponto sobre que é computado; é um vetor M perpendicular ao plano dos pares e de magnitude igual ao produto Fd.

M z z z - F (M = Fd) Mz M d F My O O O y y y Mx x x x Dois pares que têm o mesmo momento M são equivalentes (têm o mesmo efeito em um corpo rígido dado).

F F MO r A A O O Toda força F que age em um ponto A de um corpo rígido pode ser substituída por um sistema de força-pares em um ponto arbitrário O, consistindo na força F aplicada em O e em um momento Mo igual ao momento sobre o ponto O da força F em sua posição original. O vetor F e o vetor Mo são sempre perpendiculares entre si.

F3 F1 F3 F1 A3 R M1 A1 r1 r3 r2 O A2 M2 O M3 O F2 M F2 Todo o sistema de forças pode ser reduzido a uma força e um momento em um ponto dado O. Primeiramente, cada uma das forças do sistema é substituída por um sistema equivalente de força e momento no ponto O. Em seguida todas as forças são adicionadas então para obter uma força resultante R, e todos os momentos são adicionados para obter um vetor resultante Mo. No final, a força resultante R e o vetor Mo não serão perpendiculares entre si.

 F =  F’  Mo =  Mo’ F3 F1 R A3 A1 r1 r3 r2 O A2 O F2 M Dois sistemas de forças F1, F2, F3 . . . , e F’1, F’2, F’3 . . . , serão equivalentes se, e somente se,  F =  F’ e  Mo =  Mo’