SINAIS E SISTEMAS Sinais Sistemas O que são sinais? Transformações lineares da variável independente Reflexão em relação à origem; Mudança de escala; Translação no tempo. Propriedades dos sinais Paridades; Periodicidade. Sinais contínuos básicos Impulso unitário de Dirac; Escalão unitário; Exponencial complexa. Sinais discretos básicos Impulso unitário; Escalão unitário; Exponencial complexa. Sistemas Sistema físico, modelo, representação matemática. Propriedades dos sistemas Sistemas com e sem memória; Causalidade; Invertibilidade e sistema inverso; Estabilidade; Invariância temporal; Linearidade.

Sinais e Sistemas automóvel circuito elétrico sinal de entrada: posição do acelerador sinal de saída: velocidade do veículo sinais: tensões e correntes Circuito eléctrico: tensões e correntes como funções do tempo são exemplos de sinais; o circuito representa o sistema que transforma tensões e correntes noutras tensões e correntes. Automável: quando o automobilista pressiona o acelerador, o automóvel responde aumentando a velocidade. Máquina fotográfica: é um sistema que recebe luz oriunda de diferentes fontes luminosas e reflectida por diversos objectos, e produz como saída uma fotografia. Microfone: transforma um sinal sonoro (pressão acústica) num sinal eléctrico. máquina fotográfica luz microfone sinal de entrada: fala (pressão acústica) sinal de saída: corrente eléctrica sinal de entrada: luz sinal de saída: fotografia

Sinais e Sistemas Sinal contínuo: domínio real Sismologia Electrocardiograma O que são sinais? Sinais são funções de uma ou mais variáveis independentes que contêm informação acerca do comportamento e características de determinados fenómenos físicos. Os sinais são representados matematicamente como funções de uma ou mais variáveis independentes. Sismógrafo: aparelho que regista as ondas sísmicas, i.e., regista os movimentos do solo no local onde o aparelho está localizado; o sismograma (sinal) corrsponde ao registo ao longo do tempo dos movimentos do solo; a variável independente, o tempo, pertence ao conjunto dos reais, pelo que estamos em presença de um sinal contínuo. Electrocardiograma: exame médico onde é feito o registo da variação dos potenciais eléctricos gerados entre dois pontos do corpo pela actividade eléctrica do coração; O electrocardiograma (sinal) corresponde ao registo destes potenciais em função do tempo real – sinal contínuo. Sinal de fala: variação ao longo do tempo de uma pressão acústica. Fala

Sinais e Sistemas Sinal discreto: domínio inteiro Em economia, um indicador importante é o produto interno bruto (PIB); o registo ao longo do tempo do PIB caracteriza a evolução da economia de um país; este registo é normalmente feito por trimestres; neste caso, a variável independente deste sinal pertence ao conjunto dos números inteiros – sinal discreto. Em meteorologia é usual fazer o registo da temperatura máxima (ou mínima) ao longo dos meses, ou da precipitação, ou da humidade relativa; todos estes sinais são função de uma variável independente pertencente ao conjunto dos números inteiros.

Sinais e Sistemas Sinal discreto: domínio inteiro Amostragem de sinal analógico Os sinais discretos podem ser intrinsecamente discretos ou resultar da amostragem de sinais contínuos. A gravação de música num computador ou num CD obriga a um primeiro passo que corresponde à amostragem do sinal contínuo que representa a música.

Transformações lineares da variável independente O sinal y relaciona-se com o sinal x através de uma transformação linear da variável independente quando - sinal contínuo - sinal discreto

Transformações lineares da variável independente Inversão temporal (ou reflexão em relação à origem) Exemplo: passagem de fita magnética em sentido inverso ao de gravação mas à mesma velocidade

Transformações lineares da variável independente Mudança de escala Sinal contínuo: Exemplo: passagem de fita magnética a uma velocidade diferente da original : fita tocada a velocidade superior compressão temporal : fita tocada a velocidade inferior expansão temporal

Transformações lineares da variável independente Mudança de escala Sinal discreto: No caso discreto só faz sentido falar em compressão temporal ; Na compressão temporal de um sinal discreto há sempre perda de informação.

Transformações lineares da variável independente Translação no tempo : atraso : avanço Exemplo: propagação de um sinal entre dois pontos distantes no espaço

Transformações lineares da variável independente x(t) 1 -- z(t) t -- 1 -2 -1 w(t) t -- 1 2 y(t) t -- 1 4 2

Transformações lineares da variável independente y(t) -- 1 3 x(t) -2 2 1. Compressão temporal: 2. Inversão temporal: z(t) t -1 1 w(t) t -1 1 3. Translação no tempo:

Propriedades dos sinais: Paridades Um sinal diz-se par quando Um sinal par é simétrico em relação à origem

Propriedades dos sinais: Paridades Um sinal diz-se ímpar quando Se um sinal ímpar estiver definido para o instante t=0 então x(0)=0

Propriedades dos sinais: Paridades Qualquer sinal x pode ser decomposto na soma de um sinal par com um sinal ímpar em que e t x(t) -- 1 2 t xp(t) -- 1 2 -1 -2 t xi(t) -- 1 2 -1 -2

… Propriedades dos sinais: Periodicidade T, N - periodo Sinal periódico sse … Sinal constante contínuo: sinal periódico mas não se define período fundamental. Sinal constante discreto: sinal periódico com período fundamental igual a 1. Um sinal periódico é um sinal bilateral; Se x(t) é periódico com periodo T, também é periódico com periodo 2T, 3T, 4T… Periodo fundamental T0 é o menor valor positivo do periodo.

Periodicidade Exemplos O sinal é periódico? O sinal é periódico? Existe solução periódico inteiro, irracional Período fundamental: Não existe solução não é periódico

Sinais básicos: escalão unitário contínuo discreto … …

Sinais básicos: impulso unitário de Dirac Função generalizada definida de forma explicita por ou de forma implícita por O impulso unitário de Dirac é nulo para ; Em o impulso unitário de Dirac tem amplitude infinita; O impulso unitário de Dirac é caracterizado por ter área unitária, i.e.,

Sinais básicos: impulso unitário de Dirac representação gráfica Exemplo: Qual a área de ? propriedades x(t) d(t-t0) d(t) aproximação área=1 área=1 área=1 área =1

… Sinais básicos: impulso unitário discreto relação com o escalão unitário propriedades

Sinais básicos: exponencial complexa contínua

Sinais básicos: exponencial complexa contínua

Sinais básicos: exponencial complexa contínua II.

Sinais básicos: exponencial complexa contínua é periódico? O sinal é sempre periódico; O sinal O período fundamental é ; Quanto maior for , menor é e maior é a rapidez de oscilação.

Sinais básicos: exponencial complexa contínua Exemplos periódico com periódicos O sinal é periódico? não existe pelo que não é periódico periódicos O sinal é periódico?

Sinais básicos: exponencial complexa discreta

Sinais básicos: exponencial complexa discreta

Sinais básicos: exponencial complexa discreta II.

Sinais básicos: exponencial complexa discreta III.

Sinais básicos: exponencial complexa discreta representam o mesmo sinal. As exponenciais complexas e

Sinais básicos: exponencial complexa discreta Quando aumenta, a rapidez de oscilação de aumenta para , e diminui para . Exemplo:

Sinais básicos: exponencial complexa discreta é periódico? O sinal O sinal é periódico sse for um número racional; O período fundamental é o menor inteiro positivo tal que ; A frequência fundamental é , em que e não têm factores comuns.

Sinais básicos: exponencial complexa discreta Exemplos O sinal é periódico? é periódico Frequência fundamental: Período fundamental: não é periódico O sinal é periódico? O sinal é periódico? é periódico Frequência fundamental: Período fundamental: Mesmo sinal: A frequência fundamental é definida no intervalo

Sinais básicos: exponencial complexa discreta Exemplos periódico com O sinal é periódico? Basta que uma das componentes não seja periódica para que seja não periódico O sinal é periódico? não periódico

Sistemas + sistema sinal entrada sinal saída Sistema contínuo: transforma sinais de entrada contínuos em sinais de saída contínuos; Sistema discreto: transforma sinais de entrada discretos em sinais de saída discretos. Diagrama de blocos S1 S2 + S4 S3 S5 S6 x y paralelo série realimentação

Propriedades dos sistemas 1. Memória Um sistema diz-se sem memória quando a saída num dado instante de tempo depende apenas da entrada nesse instante de tempo. Exemplos: sistema com memória sistema sem memória sistema com memória

Propriedades dos sistemas 2. Causalidade Um sistema diz-se causal quando a saída num dado instante de tempo depende apenas da entrada nesse instante de tempo e/ou de instantes anteriores. Exemplos: sistema causal Todos os sistemas sem memória são causais. sistema não causal sistema causal

Propriedades dos sistemas 3. Invertibilidade e sistema inverso Um sistema diz-se invertível quando sinais de entrada distintos conduzem a sinais de saída distintos. Exemplos: sistema não invertível sistema invertível sistema inverso sistema invertível sistema inverso

Propriedades dos sistemas 4. Estabilidade Um sistema diz-se estável (de entrada limitada/saída limitada) quando qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada, i.e., Exemplos: sistema instável sistema estável limitado não limitado sistema instável limitado não limitado

Propriedades dos sistemas 5. Invariância temporal Um sistema diz-se invariante no tempo quando uma translação temporal no sinal de entrada conduz à mesma translação temporal no sinal de saída, i.e., Exemplo: Sistema invariante no tempo

Propriedades dos sistemas 5. Invariância temporal Um sistema diz-se invariante no tempo quando uma translação temporal no sinal De entrada conduz à mesma translação temporal no sinal de saída, i.e., Exemplo: sistema variante no tempo

Propriedades dos sistemas 6. Linearidade Um sistema linear é aquele que possui a propriedade da sobreposição, i.e., Exemplos: sistema não linear sistema linear

Propriedades dos sistemas 6. Linearidade Um sistema linear é aquele que possui a propriedade da sobreposição, i.e., Propriedade: Exemplo: sistema linear sistema incrementalmente linear sistema não linear

Propriedades dos sistemas Exemplo Sistema com memória porque existe pelo menos um instante de tempo para o qual o sinal de saída depende do sinal de entrada num instante diferente, e.g., . Sistema não causal porque existe pelo menos um instante de tempo para o qual o sinal de saída depende do sinal de entrada num instante posterior, e.g., . Sistema não invertível porque nunca é usado na determinação de , e.g., Sistema estável porque é limitado sempre que é limitado, i.e., Sistema variante no tempo porque uma translação no sinal de entrada não conduz à mesma translação no sinal de saída, i.e., Sistema linear porque satisfaz o princípio da sobreposição, i.e.,