Pesquisa Operacional Sistemas Lineares Profa. Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães leila_lage@uol.com.br

Pesquisa Operacional: Sistemas de equações lineares Tema da aula 08 Pesquisa Operacional: Sistemas de equações lineares

Discussão de sistemas de equações Os sistemas quadrados onde, o nº equações é igual ao nº de incógnitas, podem ser resolvidos pela regra de CRAMER, havendo 3 possibilidades: Sistema possível e determinado (possui apenas uma solução) D ≠ 0 Sistema possível e indeterminado (possui infinitas soluções) D = 0 e Di = 0 Sistema impossível (nenhuma solução) D = 0 e Di ≠ 0

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Este tipo de sistema, em que o nº de variáveis é maior que o nº de equações, é chamado sistema indeterminado. Possui mais de uma solução.

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados As soluções são obtidas em função de uma hipótese com relação as variáveis excedentes à matriz quadrada. Assim se o sistema for de ordem (m x n), devemos atribuir valores quaisquer a (n – m) variáveis, para depois então encontrar os valores das m variáveis restantes. ( 4 – 3) = 1 hipótese Ex: Dada a matriz (3 x 4)

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo: Nº de variáveis para atribuir o valor 0. Hipótese = (4 – 3) = 1 hipótese Considerando como hipótese x4 = 0

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo: Se x4 = 0, então na 3ª equação temos: X1 = 4 - 2x2

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo: Se x4 = 0 e X1 = 4 - 2x2, então na 1ª equação temos:

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo: Se x4 = 0, X1 = 4 - 2x2 e x3 = x2, então na 2ª equação temos:

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo: Se x4 = 0, X2 = 1 e x3 = 1, então x1 = 4 - 2x2 Solução: x1 = 2; x2 = x3 = 1; x4 = 0

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo 2: seja o seguinte sistema indeterminado Ordem ( 2 x 4 ) Nº de variáveis para atribuir o valor 0. Hipótese = (4 – 2) = 2 hipóteses

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo 2: Nº de hipóteses = combinação do número de variáveis tomadas 2 a 2. (sem repetição) 6 possibilidades de solução

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo 2: Nº de hipóteses possíveis: 6

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo 2: 1ª solução para x1 = x2 = 0 Substituindo x1 e x2 na 1ª equação

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo 2: 1ª solução para x1 = x2 = 0 e x3 = 12 Calculando x4 na 2ª equação 1ª solução x1 = x2 = 0; x3 = x4 = 12;

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo 2: 2ª solução para x1 = x3 = 0 Substituindo x1 e x3 na 1ª equação

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo 2: 2ª solução para x1 = x3 = 0 e x2 = 2 Calculando x4 na 2ª equação 2ª solução x1 = x3 = 0; x2 = 2; x4 = 6

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo 2: 3ª solução para x1 = x4 = 0 Substituindo x1 e x4 na 1ª equação

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo 2: 3ª solução para x1 = x4 = 0 e x3 = 12 – 6x2 Calculando x2 na 2ª equação

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo 2: 3ª solução para x1 = x4 = 0, x2 = 4 e x3 = 12 – 6x2 Calculando x3 na equação x3 = 12 – 6x2 3ª solução x1 = x4 = 0; x2 = 4; x3 = -12

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo 2: 4ª solução para x2 = x3 = 0 Substituindo x2 e x3 na 1ª equação

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo 2: 4ª solução para x2 = x3 = 0; x1 = 6 Calculando x4 na 2ª equação 4ª solução x2 = x3 = 0; x1 = 6; x4 = -12

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo 2: 5ª solução para x2 = x4 = 0 Substituindo x2 e x4 na 1ª equação

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo 2: 5ª solução para x2 = x4 = 0 e x3 = 12 – 2x1 Calculando x1 na equação 2ª equação

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo 2: 5ª solução para x2 = x4 = 0, x1 = 3 e x3 = 12 – 2x1 Calculando x3 na equação x3 = 12 – 2x1 5ª solução x2 = x4 = 0; x1 = 3; x3 = 6

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo 2: 6ª solução para x3 = x4 = 0 Substituindo x3 e x4 na 1ª equação

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo 2: 6ª solução para x3 = x4 = 0 e x1 = 6 – 3x2 Calculando x2 na equação 2ª equação

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo 2: 6ª solução para x3 = x4 = 0, x2 = 4/3 e x1 = 6 – 3x2 Calculando x1 na equação x1 = 6 – 3x2 6ª solução x3 = x4 = 0; x2 = 4/3; x1 = 2

Discussão de sistemas de equações Sistemas indeterminados Exemplo 2: 1ª solução: x3 = x4 = 12; 2ª solução: x2 = 2; x4 = 6 3ª solução: x2 = 4; x3 = -12 4ª solução: x1 = 6; x4 = -12 5ª solução: x1 = 3; x3 = 6 6ª solução: x2 = 4/3; x1 = 2

Memória de aula Qual a característica dos sistemas indeterminados considerando o n° de variáveis e o n° de equações? Dada a matriz (2 x 5) determine o n° de variáveis para atribuição do valor 0. Calcule o n° de hipóteses (possibilidades de solução) para a matriz acima. Considere hipóteses sem repetição. Considerando que a matriz acima citada possui as variáveis: x1, x2, x3, x4 e x5, demonstre quais são as possíveis combinações entre elas (sem repetição).

Bibliografia indicada LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Rio de Janeiro, 2002. versão digital disponível na Internet (http://www.ericolisboa.eng.br).