Estudo de Função Aplicada a Gestão Caso do Lava-Jato Funções Quadráticas Prof: Rosemberg Trindade

Caso Inicial: Aprofundando no Lava Jato No caso anterior o dono do lava-jato encomenda uma pesquisa de mercado visando estudar o comportamento do consumidor em relação ao preço da lavagem. Qual preço lhe trará melhor receita e consequentemente melhor lucro? Após várias pesquisas o resultado se traduziu no quadro a seguir:

Caso Inicial: Aprofundando no Lava Jato Variável Independente (x) Variável dependente (y) Preço da Lavagem - PV Provável nº de carros lavados (d) 10 400 12 300 14 200 16 100

Caso Inicial: Aprofundando no Lava Jato Considerando o que estudamos em funções lineares, responda: Qual a expressão que pode representar o nº de carros lavados em função do preço? Utilize a equação da reta e dois pontos conhecidos para isso. Sejam os pontos (10;400) e (16,100)

Equação da reta a partir de dois pontos conhecidos 𝑦−400 100−400 = 𝑥−10 16−10 6𝑦=−300x+5400 (÷6) 𝑦=−50x+900 𝑦−400 −300 = 𝑥−10 6 Mas y = d e x = PV 6 𝑦−400 =−300 𝑥−10 𝑑=−50PV+900 6𝑦−2400=−300x+3000 6𝑦=−300x+3000+2400

Caso Inicial: Aprofundando no Lava Jato Considerando que receita total é o preço de venda multiplicado pela quantidade vendida (R = PV*d) qual a expressão que irá representar a receita total em função do preço cobrado? 𝑑=−50𝑃𝑉+900 R=𝑃𝑉∗𝑑 R=𝑃𝑉 −50𝑃𝑉+900 𝑅=−50 𝑃𝑉 2 +900𝑃𝑉 Deste modo percebemos que a expressão da receita em função do preço de venda passou a ter um termo elevado ao quadrado, neste caso temos uma função do 2º grau ou quadrática.

Conceituando a função quadrática Chamamos de função quadrática ou do 2º grau toda função do tipo 𝒚=𝒂𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+c Em que a , b e c são números reais x é a variável independente; y é a variável dependente;

Quando x=0 teremos y = c, ou seja o gráfico toca o eixo das ordenadas no valor correspondente a c. Para resolver uma equação do 2º grau temos a seguinte fórmula. ∆= 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝒙 𝟏 = −𝒃+√∆ 𝟐𝒂 Zeros da Função – os zeros da função são os valores que x assume para que o y=0. Para acharmos os zeros da função devemos resolver a equação do 2º grau que se forma. 𝒙 𝟐 = −𝒃−√∆ 𝟐𝒂

Gráfico da Função Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima. Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo.  > 0 – A equação do 2º grau possui duas soluções distintas, isto é, a função do 2º grau terá duas raízes reais e distintas. A parábola intersecta o eixo das abscissas (x) em dois pontos.

Gráfico da Função  = 0 – A equação do 2º grau possui uma única solução, isto é, a função do 2º grau terá apenas uma raiz real. A parábola irá intersectar o eixo das abscissas (x) em apenas um ponto.  < 0 – A equação do 2º grau não possui soluções reais, portanto, a função do 2º grau não intersectará o eixo das abscissas (x).

Pontos notáveis do gráfico de uma função O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão definidos, observe: Ponto de Máximo Ponto de Mínimo

Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo y. Para acharmos o vértice de uma função do 2º grau utilizamos as formulas. 𝒙 𝒗 = −𝒃 𝟐𝒂 𝒚 𝒗 = −∆ 𝟒𝒂

Exemplo Seja a função y= 𝑥 2 +7𝑥+6 𝒙 𝒗 = −𝒃 𝟐𝒂 = −𝟕 𝟐 =−𝟑,𝟓 Como o a = 1 > 0 a concavidade é para cima; 𝒚 𝒗 = −∆ 𝟒𝒂 = −𝟐𝟓 𝟒 =-6,25 ∆= 𝟕 𝟐 −𝟒∗𝟏∗𝟔=49-16=25 Vejamos então o gráfico desta função. 𝒙 𝟏 = −𝒃+√∆ 𝟐𝒂 = −𝟕+ 𝟐𝟓 𝟐∗𝟏 = −𝟕+𝟓 𝟐 =−𝟏 𝒙 𝟐 = −𝒃+√∆ 𝟐𝒂 = −𝟕− 𝟐𝟓 𝟐∗𝟏 = −𝟕−𝟓 𝟐 =−𝟔 E o vértice

Gráfico

Exemplo 𝒙 𝟐 = −𝒃−√∆ 𝟐𝒂 = −𝟗𝟎𝟎− 𝟖𝟏𝟎.𝟎𝟎𝟎 𝟐∗(−𝟓𝟎) = −𝟗𝟎𝟎−𝟗𝟎𝟎 −𝟏𝟎𝟎 =18 𝒙 𝟐 = −𝒃−√∆ 𝟐𝒂 = −𝟗𝟎𝟎− 𝟖𝟏𝟎.𝟎𝟎𝟎 𝟐∗(−𝟓𝟎) = −𝟗𝟎𝟎−𝟗𝟎𝟎 −𝟏𝟎𝟎 =18 Voltando ao caso inicial R= −50𝑃𝑉 2 +900𝑃𝑉 E o vértice Como o a = -50 < 0 a concavidade é para baixo; 𝒙 𝒗 = −𝒃 𝟐𝒂 = −𝟗𝟎𝟎 𝟐∗(−𝟓𝟎) =𝟗 ∆= 𝟗𝟎𝟎 𝟐 −𝟒∗(−𝟓𝟎)∗𝟎= 𝟗𝟎𝟎 𝟐 = 810.000 𝒚 𝒗 = −∆ 𝟒𝒂 = −𝟖𝟏𝟎.𝟎𝟎𝟎 𝟒∗(−𝟓𝟎) =𝟒.𝟎𝟓𝟎 𝒙 𝟏 = −𝒃+√∆ 𝟐𝒂 = −𝟗𝟎𝟎+ 𝟖𝟏𝟎.𝟎𝟎𝟎 𝟐∗(−𝟓𝟎) = −𝟗𝟎𝟎+𝟗𝟎𝟎 −𝟏𝟎𝟎 =𝟎

Gráfico

Exemplo Lembrando que calculamos a receita em função do preço de venda, mas o que realmente nos interessa é o Lucro, pois é receita menos despesa. Achemos então a expressão do lucro: 𝐿𝐵=𝑅−𝐶𝑇 𝐿𝐵=𝑃𝑉∗𝑑− 𝐶𝑉∗𝑑+𝐶𝐹 𝐿𝐵=𝑃𝑉∗𝑑−𝐶𝑉∗𝑑−𝐶𝐹) 𝐿𝐵=(𝑃𝑉−𝐶𝑉)∗𝑑−𝐶𝐹 𝐿𝐵=(𝑃𝑉−4,4)∗𝑑−1692

Exemplo Como 𝑑=−50𝑃𝑉+900 temos então que 𝐿𝐵=(𝑃𝑉−4,4)∗(−50𝑃𝑉+900)−1692 𝐿𝐵=−50 𝑃𝑉 2 +900𝑃𝑉+220𝑃𝑉−3960−1692 𝐿𝐵=−50 𝑃𝑉 2 +1.120𝑃𝑉−5.652 Façamos então o gráfico do lucro bruto em função da receita para achar o melhor preço de venda para o negócio.

Exemplo 𝐿𝐵=−50 𝑃𝑉 2 +1.120𝑃𝑉−5.652 𝒙 𝟐 = −𝒃−√∆ 𝟐𝒂 = −𝟏.𝟏𝟐𝟎− 𝟏𝟐𝟒.𝟎𝟎𝟎 𝟐∗(−𝟓𝟎) = −𝟏.𝟏𝟐𝟎−𝟑𝟓𝟐,𝟏𝟒 −𝟏𝟎𝟎 =14,72 Como o a = -50 < 0 a concavidade é para baixo; E o vértice ∆= 𝟏𝟏𝟐𝟎 𝟐 −𝟒∗ −𝟓𝟎 ∗ −𝟓.𝟓𝟔𝟐 =𝟏.𝟐𝟓𝟒.𝟒𝟎𝟎−𝟏.𝟏𝟑𝟎.𝟒𝟎𝟎=𝟏𝟐𝟒.𝟎𝟎𝟎 𝒙 𝒗 = −𝒃 𝟐𝒂 = −𝟏𝟏𝟐𝟎 𝟐∗(−𝟓𝟎) =𝟏𝟏,𝟐 𝒚 𝒗 = −∆ 𝟒𝒂 = −𝟏𝟐𝟒.𝟎𝟎𝟎 𝟒∗(−𝟓𝟎) =620 𝒙 𝟏 = −𝒃+√∆ 𝟐𝒂 = −𝟏.𝟏𝟐𝟎+ 𝟏𝟐𝟒.𝟎𝟎𝟎 𝟐∗(−𝟓𝟎) = −𝟏.𝟏𝟐𝟎+𝟑𝟓𝟐,𝟏𝟒 −𝟏𝟎𝟎 =7,68

Gráfico

Análise Final Vejam a importância desta análise para o caso em questão, chegamos a conclusão que para este negócio o lucro máximo a ser obtido é de R$ 620,00 com um preço de R$ 11,20 por carro lavado. Para que o proprietário alcance maior lucro deverá implementar mudanças nesta empresa de forma que o comportamento de suas despesas tomem um novo rumo.

Referências: SILVA, Fernando César Marra e; ABRÃO, Mariângela. Matemática Básica para Decisões Administrativas. 2ª Ed. São Paulo: Atlas, 20 SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da.; SILVA, Ermes Medeiros da. Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: Atlas, 2012.