ESFERA

Esfera Considere um ponto C do espaço e um número real e positivo r. Chamamos de esfera o sólido formado por todos os pontos P do espaço que estão a uma distância de C menor ou igual a r.

Superfície esférica A superfície esférica é a “casca” da esfera, ou seja, é o conjunto de pontos P do espaço que estão a uma distância de C igual a r.

Esfera de revolução A esfera é considerada um sólido de revolução, pois pode ser obtida pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que passa por seu diâmetro.

Secção plana de uma esfera Toda secção plana de uma esfera, ou intersecção de uma esfera com um plano, é um ponto ou um círculo. Se o plano de intersecção contiver o centro da esfera, então a secção obtida será chamada círculo máximo.

Exercícios 1. Considerando que as esferas S1 e S2, de raios medindo 3 cm e 4 cm, respectivamente, são tangentes externamente, determinar a distância entre seus centros. Resolução Como as esferas são tangentes externamente, ou seja, têm somente um ponto em comum, o segmento que une seus centros tem medida r1 + r2. Nesse caso: 3 + 4 = 7 Então, a distância entre seus centros é 7 cm.

Exercícios 2. Calcular a medida r1 do raio de uma secção plana de uma esfera sabendo que o raio da esfera mede 13 cm e a distância dessa secção ao centro da esfera é 5 cm. Vamos destacar o triângulo retângulo COP: Aplicando o teorema de Pitágoras no ∆COP, temos: 132 = 52 + r12 ⇒ r12 = 144 ⇒ r1 = 12 Portanto, r1 é igual a 12 cm. Resolução Observe a figura.

Asuperfície esférica = 4r2 Área da superfície esférica Volume da esfera Asuperfície esférica = 4r2 Vesfera = .r3 Exemplo Vamos calcular a área da superfície esférica de raio 5 cm. Sabemos que: Asuperfície esférica = 4r2 Considerando  ⋍ 3,14, temos: A ⋍ 4 ∙ 3,14 ∙ 25 = 314 Portanto, a área da superfície esférica é de aproximadamente 314 cm2.

Exercícios 3. Uma secção plana de uma esfera, distante cm do centro dessa esfera, tem 36 cm2 de área. Calcular o volume da esfera e a área de sua superfície. Resolução Como toda secção plana de uma esfera é um círculo, então a área é dada por: A1 = r1 Logo: 36 = r1 ⇒ r1 = 6 cm (raio da secção plana)  Assim, aplicando o teorema de Pitágoras no ∆COP, calculamos o raio da esfera: r2 = 62 + = 36 + 45 = 81 ⇒ r = 9  2

Agora, podemos calcular o volume V da esfera e a área A de sua superfície: V = r3 ⇒ V = ∙  ∙ 93 ⇒ V = 972 ⇒ V ≃ 3.053 A = 4r2 ⇒ A = 4 ∙  ∙ 92 ⇒ A = 324 ⇒ A ≃ 1.017 Portanto, o volume da esfera é aproximadamente 3.053 cm3 e a área da sua superfície é aproximadamente 1.017 cm2.

Exercícios 4. Uma esfera foi inscrita em um cubo, conforme a figura ao lado. Calcular o volume dessa esfera e determinar a razão entre as áreas da superfície cúbica e da superfície esférica. Resolução Da figura, temos a = 2r, e a aresta do cubo igual a 2 cm, então r = 1 cm. O volume da esfera é: Vesfera = ∙  ∙ 13 ⇒ Vesfera =  A área da superfície cúbica é: Acubo = 6 ∙ 2 ∙ 2 ⇒ Acubo = 24

A área da superfície esférica é: Aesfera = 4 ∙  ∙ 12 Considerando  = 3,14: Aesfera = 4 ∙ 3,14 = 12,56   A razão entre as áreas: ≃ 1,91 Logo, a área do cubo é quase o dobro da área da superfície esférica. 

Volume de uma cunha esférica É chamado de cunha esférica o sólido gerado pela rotação, por um ângulo de medida , de um semicírculo de raio r em torno de um eixo que contém seu diâmetro.  Vcunha esférica =

Área de um fuso esférico Pela rotação, por um ângulo de medida , de uma semicircunferência de raio r em torno de um eixo que contém seu diâmetro, obtemos um fuso esférico.  Afuso esférico =

Exercícios 5. Calcular o volume da cunha esférica e a área do fuso esférico da figura ao lado, em que r = 4 cm. Resolução Vcunha esférica = ⇒ Vcunha esférica = ≃ 14,9  Afuso esférico = ⇒ Afuso esférico = ≃ 11,2  Portanto, o volume da cunha esférica é aproximadamente 14,9 cm3 e a área do fuso esférico é aproximadamente 11,2 cm2.

A área da superfície esférica 6. Uma esfera de raio 9cm é seccionada por um plano que dista 6cm do seu centro. Calcule:  O volume dessa esfera A área da superfície esférica A área da secção determinada pelo mencionado plano de corte A figura ilustra a esfera indicada. Aplicando as fórmulas, temos: b) a) c)

7. Se duplicarmos o raio de uma esfera, o que acontece com o volume 7. Se duplicarmos o raio de uma esfera, o que acontece com o volume? E com a área da superfície? Solução: Considerando V e A como o volume e a área iniciais da esfera e aplicando as transformações, temos: Logo, o volume multiplica por 8 e a área da superfície quadruplica.