Equipe Matemática GRE Recife Sul: Ana Amara Andréia Simoni Fernanda Nascimento Samuel Justino

RESOLUÇÃO : ENSINO MÉDIO 8º Encontro – 11/08/2015

Anita teve a média de Matemática maior do que a de Português. (‘E)10 horas. 1. Anita, deseja calcular a média das notas que tirou em cada uma das duas matérias a seguir. A média aritmética de suas notas são Anita teve a média de Matemática maior do que a de Português. b) Anita teve a média de Português menor do que a de Matemática. c)Anita teve as médias de matemática e de Português iguais. d) Anita teve a média de Português maior do que a de Matemática. Matemática 1ª prova 8,5 7,0 10,0 Português 1ª prova 9,5 2ª prova 7,5 3ª prova 9,0 4ª prova 8,0 8,5 + 7,0 + 8,5 + 10 4 MAm = 8,5 MAm = Média Aritimética em Matemática = 9,5 + 7,5 + 9,0 + 8,0 4 MAp = 8,5 MAp = Média Aritimética em Português = RESPOSTA LETRA C

de 18 anos se juntar ao grupo , a média da idade do grupo 2.Em um grupo de pessoas as idades são 11, 12, 14 e 15 anos Se uma pessoa de 18 anos se juntar ao grupo , a média da idade do grupo a) permanece a mesma b) diminui de um ano c) aumenta de um ano d) aumenta mais de um ano Mi =Média das Idades do Grupo Inicial MI = 11 + 12 + 14 + 15 4 MI = 52 4 MI =13 MF =Média das Idades do Grupo Acrescentando mais uma pessoa MF = 11 + 12 + 14 + 15 + 18 5 MF = 14 Aumenta em 01 ano RESPOSTA LETRA C

Nº Quadrados Perfeitos : n(A )= 1 , 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. 3. Uma urna contém 100 bolas numeradas de 1 a 100. Uma bola é extraída ao acaso de uma urna e seu número é observado. A probabilidade de um número sendo quadrado perfeito, também ser um número par é (A) 0,5% (B) 5% (C) 10% (D) 25% (E) 50% Nº Quadrados Perfeitos : n(A )= 1 , 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Quadrados Perfeitos e par : A ∩ B= 4, 16, 36, 64, 100. - n(A ∩ B) = 5 Evento ( B/A) = A probabilidade do evento B já tendo ocorrido o evento A , isto é , na condição de sendo escolhido os quadrados perfeito, também seja um número par n(A ∩ B) P (B/A) OU P (B/A) = P(B/A) = O,5 OU 50% n(A ) RESPOSTA LETRA E

4. Rafael fez as provas de, Física, Matemática,Português, Química e Biologia num mesmo dia. Ele recebeu um envelope com essas 5 provas e, sem olhar, tirou uma prova do envelope. Qual é a probabilidade de Rafael ter tirado a prova de Matemática? A) 20%. B) 25%. C) 40%. D) 50%. E) 70% Probabilidade simples S = Espaço Amostral S = Física,Matemática , Português , Química e Biologia, S = 5 n(A)=Evento Favorável = Matemática n(A) = 1 n(A) = 1 PM = Probabilidade de tirar a prova de matemática PM = n(A) s PM = 1 5 PM = 20% RESPOSTA LETRA A

5. (GAVE). Pintaram-se as seis faces de um prisma quadrangular regular antes de cortá-lo em cubos iguais, tal como se pode observar na figura. Se escolher ao acaso, um desses cubos, qual é a probabilidade de o cubo escolhido ter só duas faces pintadas (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 4/3 (E) 5/12 Como o total de cubos que formam o prisma quadrangular são 16, isto é a quantidade de elementos do espaço amostral n(S) = 16 e a quantidade de cubos pintados apenas duas de suas 6 faces são 8 de elementos isto é o evento n(E) = 8 e se a probabilidade do evento ocorrer é dado por PE = n(E) n(S) 8 16 1 2 = = RESPOSTA LETRA C

6. Observe o gráfico da função quadrática f(x), a seguir: r1 + r 2 = -2 + 7 = - b/a b = -5a Xv = r1 + r2 2 r1 x r 2 = c (a) (-2 x 7) (a) = c c =- 14a Xv = -2 + 7 2 F(x) = ax² +bx + c F(x) = ax² -5ax -14a Xv = 2,5 F(x) = a(x² -5x -14), Equação : 1 Cálculo de a; “ em F(x) , b=-5 e pelo gráfico temos xv = 2,5 Xv = -b 2a 2,5 = (-5) 2a 5a =-5 Logo : a =-1 As coordenadas do vértices xv e yv são : Assim, substituindo em Em (1) temos Característica : - a˂0; concavidade voltada para baixo, - - “c” positivo F(x) = -1 (x² -5x -14) F(x) = -x² +5x +14 Yv = - ∆/4a ∆ = 25 – (4(-1) .14 ∆ = 81 Yv = 81/4 Yv = 20,25 RESPOSTA LETRA A

Quem determina o período da função f(t) dada, é a constante c, 7. A Grande Roda de Pequim é a maior roda-gigante do mundo. Podemos descrever seu movimento de giro por meio de uma função trigonométrica. Por exemplo, considerando um extremo A de um diâmetro horizontal, podemos descrever o movimento através da função, f(t) = 111 + 97sen (πt /15) em que f(t) é a altura, em metro, do ponto A em relação ao terreno no instante t, em minuto, a partir do início da medição do tempo (t = 0). Em quantos minutos a roda dará uma volta completa Trata-se de determinar a partir de f(t), em quantos minutos a roda gigante dará uma volta Completa, ou seja temos que DETERMINAR O PERÍODO de f(t) Quem determina o período da função f(t) dada, é a constante c, Que amplia a função f(t) para |a| ˂ 1 e comprime para |a|˃ 1 O novo período será: p = px / |c| , em que px é o período da função trigonométrica correspondente, f(x) = sen x , ou seja px = 2π Vamos vê o vídeo ! f(t) = 111 + 97sen (πt /15) Ou seja o novo período será : P= 2π c Como , c=15/π, temos f(t) = a+ bsen (cx + d) P= 2π π 15 P= 2π x 15 π a=111 B=97 c=15/π d=0 P= 30 minutos RESPOSTA LETRA E

8. Observe o gráfico a seguir. Função definida no gráfico dado Qual a função que melhor representa esse gráfico no intervalo [ -2π , 2π] ϴ sen ϴ π/2 1 π 3π/2 -1 2π ϴ cos ϴ 1 π/2 π -1 3π/2 2π ϴ ( - )cos ϴ -1 π/2 π 1 3π/2 2π RESPOSTA LETRA D

9. No cone reto a seguir, o diâmetro da base mede 24 m e a geratriz 20 m A medida da sua área total em m² de aproximadamente (Use Acone = π.R (g +R) (A) 480 . (B) 840. (C) 1205 . (D) 1657. (E) 3315 . Sendo dado : D= Diâmetro da Base do cone Temos: D= 24m Acone = π.R (g +R) Logo o Raio R = D/2 R= 12m Acone = 3,14 . 12 ( 20 + 12 ) G= 20m A geratriz ”G” é dada Acone = 3,14 . 12 ( 32 ) = 37,68 . 32 Sendo π = 3,14 Acone = 1205,76 m² RESPOSTA LETRA C

10.) Observe o paralelepípedo o vazado a seguir Dado : π = 3,14 1º) calcular o volume de paralelepípedo maciço VPm = 30 x 32 x 28 VPm = 26.880 cm³ 2º) calcular o volume cilíndrico do corte VCc = π r² x h Onde h=32cm e r=10cm Admitindo π = 3,14 pode-se afirmar que o volume do paralelepípedo vazado, em cm3, é igual a VCc = 3,14 x 10² x 32 VCc = 10.048cm³ 12.875,2. (B) 13 915. (C) 16 832. (D) 25.875,2 (E) 26.875,8 3º) calcular o volume da peça Vazada = VPvz Para calcular o volume da peça Vazada basta obter a diferença entre VPm e VCc VPvz = VPm - VCc VPvz = 26.880 - 10.048 VPvz = 16.832 RESPOSTA LETRA C

11. Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura C Vê Vídeo Triângulo pitagórico 3, 4 ,5 8cm 6cm B A 10cm 6 – r A c=10cm o raio da perfuração da peça é igual a : M 6 – r 8 -r a)1cm b)2cm c) 3cm d)4cm e)5cm b=6cm N 6 – r + 8 – r = 10 r C B r = 2cm r P RESPOSTA LETRA B 8 - r a=8

a) O nível subiria 0,2cm, fazendo a água ficar com 20,2cm de altura. 12. Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fabrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura. O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2400cm3? a) O nível subiria 0,2cm, fazendo a água ficar com 20,2cm de altura. b) O nível subiria 1cm, fazendo a água ficar com 21cm de altura. c) O nível subiria 2cm, fazendo a água ficar com 22cm de altura. d) O nível subiria 8cm, fazendo a água transbordar. e) O nível subiria 20cm, fazendo a água transbordar. Volume Inicial do tanque = Vi Vi = 40 x 30 x 20 Vi = 24.000 cm³ RESPOSTA LETRA C Volume Final do tanque = VF VF = 24.0000 + 2.400 VF = 26.4000 cm³ h’ = nova altura VF = área de base (AB) X Nova Altura h’ h’ = 26.000 /40x30 h’ = 22 cm Como altura h = 20cm o nível de subida de coluna dágua é 2cm

13. O administrador de uma cidade, implantando uma política de reutilização de materiais descartados, aproveitou milhares de tambores cilíndricos dispensados por empresas da região e montou kits com seis tambores para o abastecimento de água em casas de famílias de baixa renda, conforme a figura seguinte. Além disso, cada família envolvida com o programa irá pagar somente R$2,50 por metro cúbico utilizado. Uma família que utilizar 12 vezes a capacidade total do kit em um mês pagará a quantia de: (considere  = 3) Custo por m³ utilizado = R$ 2,50 π= 3 D=40cm D=20cm O kit é composto por 06 tambores O Volume (V1) de um tambor é igual a V1 = πxr² x h V1 = 3 x (0,20)² x h V1 = 3 x 0,04 x 1 V1 = 0,12 m³ Volume Utilizado (VU) por família é 12 vezes a volume do kit C= Valor em Reais que cada família pagará VK = 6 X 0,12 VU = 12 x 0,72 m³ VK = 0,72 m³ C= 8,62 x 2,5 C= R$ 21,60 VU = 8,64 m³ RESPOSTA LETRA C

14. Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las. Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824cm3, então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a: A pergunta é quantas esferas cabem dentro do cubo? Para isso vamos calcular o volume da esfera = VE O raio da esfera foi dado : r = 6cm Logo o volume de uma esfera será VE VE = 4 π . r³ 3 VE = 4 .3 . 6³ 3 VE = 864 cm³ Logo se 864 m3 de volume corresponde a 1 esfera 13. 824 m³ corresponderão a x esferas x= 13.824 / 864 x= 16 esferas RESPOSTA LETRA C

15. Na fabricação da peça abaixo, feita de um único material que custa R$ 5,00 o cm³, deve-se gastar a quantia de: Custo do Material : R$ 5,00 / cm³ Considerando O volume da peça Maciça : VPM VPM = 8X 5 X 2 VPM = 80cm³ Considerando o volume do Rasgo da peça : VR VR = 1 X 4 X 12 VR = 4cm³ R$ 400,00 b) R$ 380,00 c) R$ 360,00 d) R$ 340,00 e) R$ 320,00 O volume da peça formada será : VPF VPF = VPM - VR VPF = 80 - 4 VPF = 76cm3 Logo o gasto será de 76 x 5,00 = R$ 380,00 RESPOSTA LETRA B

16. Uma pirâmide reta de base quadrada e altura de 4 m está inscrita numa esfera de raio 4 m. Adotando π= 3, pode-se afirmar que Vesfera = 6V pirâmide b) Vesfera = 5V pirâmide c) Vesfera = 4V pirâmide d)Vesfera =3V pirâmide e)Vesfera = 2V pirâmide π= 3 raio esf. =4 m V(esf) = 4 π r³ 3 V(esf) = 4 . 3 . 4³ 3 V(esf) = 256m³ Vprm = Abase x h 3 Vprm = (8)² x 4 3 Vprm = 256 3 Mas a pirãmide circunscreve a metade do volume de uma esfera, neste caso, temos que dividir por 2 o Vprm Vprm (circunscrita) = 256 3 2 Vprm = 128/3 256 128 3 Vesf = 6 x Vprm Vesf Vprm RESPOSTA LETRA A

17. Uma comissão de uma câmara de vereadores será composta por 1 presidente, 1 secretário e 1 relator, considerando que essa câmara possui 8 vereadores de quantos modos pode ser formado essa comissão? A) 281 B) 336 C) 420 D)484 E) 720 Pelo princípio multiplicativo : 8 6 7 p s r 8 x 7 x 6 336 possibilidades Por arranjo A8,3 = A8,3 = 336 possibilidades RESPOSTA LETRA B

18. Calcule o número de comissões diferentes composta por 3 alunos que podemos escolher de um grupo de 8 estudantes A) 28 B) 42 C) 56 D) 72 E) 84 B C A A B C A ordem da comissão formada NÃO importa , então temos uma COMBINAÇÃO 8 X 7X 6 X 5ᴉ 5ᴉ X 3 X 2 X1 C8,3 = 8ᴉ....... 5ᴉ . 3ᴉ C8,3 56 = RESPOSTA LETRA C

= 19. Em uma câmara municipal, deve-se formar uma comissão de 8 vereadores de tal maneira que 3 sejam do partido A, 3 do B e 2 do C. Quantas comissões distintas podem ser formadas, sabendo-se que os partidos A e C tem 8 vereadores e o partido B tem 5 vereadores. A) 21 B) 240 C)480 D) 7280 E) 7840 A ordem como se escolhe os vereadores não interferem no agrupamento logo temos uma combinação. C8,2 x C5,3 X C8,2 x x x x RESPOSTA LETRA E 4 x 7 x 5 x 2 x 4 x 7 = 7840

20. Flamengo, Palmeiras, Internacional, Cruzeiro, Vitória, Náutico, Sport, Botafogo e Goiás disputam um torneio em cuja classificação final não pode haver empates. Qual é o número de possibilidades de classificação para os três primeiros lugares desse torneio? (A) 21 (B) 42 (C)184 (D) 210 (E) 504 Pelo Princípio Multiplicativo 1 lugar 2 lugar 3lugar __9___ ___8___ ___7__ Para o primeiro lugar nós temos 9 possibilidades. Para o segundo lugar teremos 8 possibilidades. Para o terceiro lugar temos apenas 7 possibilidades. Por Arranjo propriamente dito temos que a ordem em que aparecem os resultados modificam o agrupamento Então é um arranjo. A9,3 504 A9,3 = = 9 x 8 x 7 = A9,3 = RESPOSTA LETRA E