Sistemas de Controle III N8SC3 Prof. Dr. Cesar da Costa 2.a Aula: Representacao no Espaco de Estados (1.a Parte)

Modelo Matemático de Sistemas Dinâmicos O modelo matemático de um sistema dinâmico é obtido a partir da aplicação de Leis Físicas e de Equações constitutivas dos elementos, que compõem o sistema, o que conduz, normalmente, a um sistema de equações diferenciais e/ou equações algébricas. Tal sistema de equações, usualmente, é representado de três maneiras: a) Representação no Espaço de Estados; b) Representação por Equação I/O (Input/Output = Entrada/Saída); c) Representação por Matriz de Transferência.

Modelagem A modelagem consiste na obtenção de um conjunto de equações que representam a dinâmica da iteração entre a entrada e a saída de um processo. Os modelos podem ser obtidos a partir das leis físicas e/ou químicas que regem o processo ou pela identificação do modelo, por meio de ensaios realizados sobre o processo.

Modelagem Forma de apresentação: Equações integro-diferenciais (sistemas contínuos) ou; Por equações as diferenças (sistemas discretos). Formas de representação: Função de transferência (transformada de Laplace ou transformada Z); Variáveis de estado.

Modelagem - Exemplo 1 Variação de volume:

Modelagem - Exemplo 1 Sabendo que: Onde: R é a resistencia hidráulica inserida pela válvula a0.

Modelagem - Exemplo 1 Chega-se a seguinte equação diferencial relacionando a entrada Qi(t) com a saída h(t):

Modelagem - Exemplo 1 Para um nível inicial h(0) e aplicando a transformada de Laplace, obtém-se:

REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS É um enfoque mais moderno, que repousa sobre o conceito de Variáveis de Estado. Nesta representação, um modelo matemático descrito por uma equação diferencial de ordem n é substituído por um sistema de n equações diferenciais, todas de 1.a ordem. Se o modelo matemático for descrito por m equações diferenciais de ordem n, então ele será substituído por um sistema de m x n equações diferenciais de 1a ordem.

REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS A representação no espaço de estados é particularmente útil na análise e no projeto de sistemas de controle. Ela possui as seguintes características: Usa o domínio do tempo; Quaisquer condições iniciais; Aplicabilidade mais ampla: sistemas lineares e não-lineares;

REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS sistemas invariantes no tempo e variantes no tempo sistemas SISO (Single Input, Single Output) e MIMO (Multiple Inputs, Multiple Outputs) Interpretação física mais abstrata.

Sistemas lineares e não-lineares Equações lineares são equações que envolvem relações algébricas entre variáveis de grau um; Graficamente, as equações lineares podem ser retas, planos ou hiperplanos; Notação:

Sistemas lineares e não-lineares

Sistemas Invariantes no Tempo e Variantes no Tempo Um sistema invariante no tempo é aquele que para um sinal de entrada x(t), o sinal de saída é y(t), não importa quando é aplicada esta entrada. Ou seja, as condições dinâmicas do sistema não mudam com o passar do tempo. Na realidade nenhum sistema é invariante no tempo, mas na prática consideramos como invariante no tempo muitos sistemas, cuja variação no tempo é muito lenta.

Sistemas SISO (Single Input, Single Output)

Sistemas MIMO (Multiple Inputs, Multiple Outputs)

Controle Moderno A tendência moderna dos sistemas de engenharia é ter a sua complexidade aumentada tanto em termos de descrição do modelo (sistemas variantes no tempo e não lineares), quanto ao desempenho desejado (tarefas complexas com alta precisão). Para atender a necessidade de controlar sistemas mais complexos, surgiu na década de 1960 a teoria de controle baseada na representação por variáveis de estado (denominada de controle moderno).

Limitacoes da Teoria Convencional de Controle Na teoria convencional de controle, apenas os sinais de entrada, saída e de erro são considerados importantes. A análise e projeto de sistemas de controle são feitos usando-se funções de transferência, juntamente com uma variedade de técnicas , tais como: Lugar das raízes; Gráficos de Nyquist.

Limitacoes da Teoria Convencional de Controle A característica essencial da teoria convencional de controle é que ela é baseada na relação de entrada-saída, ou a função de transferência. A principal desvantagem dessa teoria é que, de modo geral, ela é aplicável apenas para sistemas lineares invariantes no tempo SISO (única entrada e única saída). .

Limitacoes da Teoria Convencional de Controle A teoria convencional de controle é impotente para sistemas variantes no tempo, sistemas não lineares (exceto mais simples) e sistemas MIMO (múltiplas entradas e múltiplas saídas). Portanto, as técnicas convencionais (métodos do lugar das raízes e de resposta em frequência) não se aplicam para o projeto de sistemas ótimos ou de sistemas adaptativos, que são em geral variantes no tempo e/ou não lineares.

Uma Nova Abordagem para Análise e Projeto de Sistemas de Controle . A tendência atual em sistemas de engenharia é focar uma maior complexidade, maior precisão e tarefas bem mais complexas. A teoria de controle moderno é essencialmente um abordagem de domínio de tempo, enquanto que a teoria de controle convencional é uma abordagem de domínio de frequência complexa.

Variáveis de Estado Esta teoria se baseia em uma representação no domínio do tempo, através de um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem. Estado: o estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis (chamadas de variáveis de estado x1(t), x2(t),...,xn(t) ), tais que o conhecimento destas variáveis no instante inicial (t=0), juntamente com o conhecimento do sinal de entrada para t > t0 é suficiente para determinar completamente o comportamento dinâmico do sistemas para t > t0.

Variáveis de Estado O conceito de estado pode representar não somente uma grandeza física, mas também variáveis biológicas, químicas, econômicas e sociais (além de abstrações matemáticas). As variáveis de estado não necessitam ser quantidades físicas mensuráveis ou observáveis. Variáveis que não representam grandezas físicas (possivelmente, não mensuráveis ou observáveis) também podem ser escolhidas como variáveis de estado.

Variáveis de Estado Existem infinitas representações por variáveis de estado para um determinado sistema dinâmico. Esta flexibilidade na definição das variáveis de estado pode ser utilizada para gerar representações mais convenientes para obtenção da resposta no tempo, análise de estabilidade e síntese de controle.

Vetor de Estado Se forem necessárias n condições iniciais para definir completamente a resposta de um sistema, então teremos n estados x1(t), x2(t), . . . , xn(t) que comporão o vetor de estados x(t):

Espaco de Estados A representação por variáveis de estado consiste em n equações diferenciais de primeira ordem que são apresentadas utilizando uma notação com matrizes e vetores. O espaço n-dimensional cujos eixos de coordenadas são os eixos x1, x2, ...xn é chamado de um espaço de estados. Qualquer estado pode ser representado por um ponto no espaço de estados.

Representacao de Estados – Exemplo 1 Dado o circuito RLC a seguir.

Representacao de Estados – Exemplo 1 O comportamento dinâmico do sistema é completamente definido para t=0 e t>0, se os valores iniciais da corrente i(t0), a tensão do capacitor Vc(t0), e a tensão de entrada V(t0) para t=0 e t>0 são conhecidas. Portanto, o estado do circuito para t=0 e t>0 é completamente determinado por i(t) e Vc(t) e a tensao de entrada V(t). Logo, i(t) e Vc(t) são um conjunto de variáveis de estado para o circuito RLC apresentado.

Representacao de Estados – Exemplo 1 Suponha que escolhemos i(t) e Vc(t) como as variáveis de estado. Entao as equações que descrevem a dinâmica do sistema são:

Representacao de Estados – Exemplo 1 Em notação vetorial, temos: Esta é uma representação de espaço de estados para o circuito ou sistema dado.