Anéis Principais Acadêmicos: Paulo Sérgio Rosilene Starly Mariano
Proposição 4: Num anel principal todo elemento irredutível é primo. Demonstração:
Proposição 5: Num anel principal A dois elementos quaisquer a e b admite máximo divisor comum em A. Demonstração:
Proposição 6: Um elemento p ≠ 0 de um anel principal A é irredutível se, e somente, se o ideal ˂ p ˃ é maximal. Demonstração:
Lema 1: Seja I 1 c I 2 c I 3 c... uma sequência de ideais num anel principal A. Então existe r ≥ 1 de modo que I 1 = I r+1 =... Demonstração:
Lema 2: Seja A um anel principal. Então um elemento a є A, não nulo e não invertível, admite um divisor irredutível. Demonstração:
Teorema 1: ( Fatoração única ): Seja A um anel principal. Dado um elemento a є A, não nulo e não invertível, existem elementos irredutíveis p 1, p 2,... p n (n ≥1) de maneira que a = p 1. p p n. Além disso, se a = q 1.q 2....q s com os a j irredutíveis, então n=s e cada fator p i da primeira decomposição é associado do fator q j da segunda decomposição. Demonstração: