DERIVADAS Taxa de variação média Geometricamente , a taxa de variação média de uma função f, num intervalo [a, b] contido no domínio de f, é o declive da reta que passa pelos pontos A(a, f(a)) e B(b, f(b)). Em termos físicos, se a função f representa a distância percorrida por um objeto, em função do tempo no intervalo [a, b], a taxa de variação média corresponde à velocidade média do objeto entre os instantes a e b.

Exercício 1 Numa floresta foi detetada uma praga. A área afetada pela praga começou por alastrar durante algum tempo, tendo depois começado a diminuir até ser totalmente extinta. Admite que a área, em hectares, afetada pela praga, é dada em função do tempo t, em semanas, decorrido após ter sido detetada a praga, por: 𝐴 𝑡 =1+2𝑡−𝑡𝑙𝑛(𝑡+1) 1.1. determina qual a área afetada pela praga, no momento em que esta foi detetada. 1.2. Justifica a afirmação: «Foi durante a oitava semana, após ter sido detetada, que a praga foi eliminada da floresta.» 1.3. Calcula a taxa de variação média da função A, para 𝑡∈ 0, 2 Apresenta o resultado arredondado às décimas e interprete-o no contexto do problema. 1.4. Mostra que a taxa de variação média da função A, no intervalo [3, 4] é 𝑙𝑛 4 3 𝑒 2 5 4 .

Conceito de derivada de uma função num ponto A derivada de uma função f, num ponto a, é a taxa de variação instantânea da função f, no ponto a. Se f é uma função que dá a distância percorrida por um móvel, em função do tempo, a derivada da função f, no ponto a, é a velocidade do móvel, no instante a.

Uma equação da reta tangente ao gráfico da função f, no ponto a, é: 𝒚−𝒇 𝒂 = 𝒇 ′ (𝒂)(𝒙−𝒂)

Exercício 2 Sendo g(x) = 2ln(x +1), calcula g’(0), pela definição. Exercício 3 Seja f uma função de domínio IR tal que f’(1) = 2. Calcula o valor dos seguintes limites: 3.1. lim 𝑥→1 𝑓 1 −𝑓(𝑥) 𝑥 2 −1 3.2. lim ℎ→0 𝑒 ℎ −1 𝑓 1+ℎ −𝑓(1) Exercício 4 A reta t é tangente ao gráfico de f no ponto A e a reta r de equação y = - 2 x + 1 é perpendicular à reta t em A. Então, podemos afirmar que o valor da derivada de f em x = a é:

Propriedade A derivada de f em x = a existe se e só se as derivadas laterais em x = a existirem e forem iguais.

Exercício 5 Considera a função f definida por 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 +1 𝑠𝑒 𝑥<0 ln 𝑥+1 +2 𝑠𝑒 𝑥≥0 Verifica se f tem derivada em x = 0 Exercício 6 Considera a função f definida por 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 −𝑥 𝑥+1 𝑠𝑒 −1<𝑥<0 2𝑥+1 𝑥+1 𝑠𝑒 𝑥 ≥0 6.1. Verifica que a função f é contínua no ponto 0. 6.2. Mostra que a função f não tem derivada no ponto 0.