PPGTI AULA 3 Prof. Dr. Márcio A. Fiori – fiori@unochapeco.edu.br

A análise de regressão pode ser usada para: PPGTI Regressão Linear Simples e Correlação Modelos Empíricos Em muitos problemas duas ou mais variáveis estão inerentemente relacionadas, sendo necessário explorar a natureza dessa relação. Análise de regressão é uma técnica estatística para modelar e investigar a relação entre duas ou mais variáveis. Exemplo: Em um processo químico suponha que o rendimento do produto esteja relacionado à temperatura de operação do processo: A análise de regressão pode ser usada para: - Construir um modelo para prever o rendimento em um dado nível de temperatura; - Otimizar o processo - Encontrar o nível de temperatura que maximiza o rendimento. Prof. Dr. Márcio A. Fiori – fiori@unochapeco.edu.br

PPGTI Exemplo: Y é a pureza do oxigênio produzido em um processo químico de destilação e X é a percentagem de hidrocarbonetos presentes no condensador principal da unidade de destilação: Prof. Dr. Márcio A. Fiori – fiori@unochapeco.edu.br

Y = A + B.X, em que A e B são chamados de coeficientes de regressão. PPGTI A inspeção indica que nenhuma curva simples passa exatamente através de todos os pontos; Há uma forte indicação de que os pontos repousem aleatoriamente dispersos em torno de uma reta; Por conseguinte, é provável e razoável considerar que a média da variável aleatória Y esteja relacionada a X pela seguinte relação linear: Y = A + B.X, em que A e B são chamados de coeficientes de regressão. Enquanto a média de Y é uma função linear de X, o valor real observado, y, não cai exatamente na linha reta. Prof. Dr. Márcio A. Fiori – fiori@unochapeco.edu.br

Y = A + B.X + E, sendo E o erro aleatório. PPGTI A maneira apropriada de generalizar isso para um modelo linear probabilístico é considerar que o valor esperado de Y seja uma função linear de X, mas que, para um valor fixo de X, o valor real de Y seja determinado pela função do valor médio mais um termo de erro aleatório: Y = A + B.X + E, sendo E o erro aleatório. Este modelo é chamado de regressão linear simples, por ter apenas uma variável independente ou regressor. O Modelo de regressão é um modelo empírico. Para o cálculo dos coeficientes de regressão linear é aplicado o método dos mínimos quadrados que considera o erro aleatório E. Y = A + B.X Prof. Dr. Márcio A. Fiori – fiori@unochapeco.edu.br

PPGTI N H% P O% 0,99 90,01 1,02 89,05 1,15 91,43 1,29 93,74 1,46 96,73 1,36 94,45 0,87 87,59 1,23 91,77 1,55 99,42 1,4 93,65 1,19 93,54 1,15 92,52 0,98 90,56 1,01 89,54 1,11 89,85 1,2 90,39 1,26 93,25 1,32 93,41 1,43 94,98 0,95 87,33 Exercício: Ajustar com o modelo de regressão linear simples os dados da pureza de oxigênio de acordo com os dados da tabela. Prof. Dr. Márcio A. Fiori – fiori@unochapeco.edu.br

PPGTI SOLUÇÂO Prof. Dr. Márcio A. Fiori – fiori@unochapeco.edu.br

Análise de Variância para testar a significância da regressão PPGTI Análise de Variância para testar a significância da regressão O procedimento divide a variância total na variável de resposta em componentes como base para os testes. A equação básica para a análise consiste em: Os dois componentes do lado direito determinam, respectivamente, a quantidade da variabilidade em yi, devida a linha de regressão, e a variação residual deixada sem explicação pela linha de regressão. SOMA QUADRÁTICA DOS ERROS – SQE = SOMA QUADRÁTICA DA REGRESSÃO – SQR = Prof. Dr. Márcio A. Fiori – fiori@unochapeco.edu.br

MQR e MQE são chamadas de médias quadráticas; PPGTI Ainda, considerando: MQR e MQE são chamadas de médias quadráticas; Se a hipótese nula H0:B = 0 for verdadeira, equação para F0 seguirá a distribuição F1,n-2 e rejeita-se H0 de F0 > Fα;1;n-2 Prof. Dr. Márcio A. Fiori – fiori@unochapeco.edu.br

O procedimento de teste é geralmente arrumado em uma tabela de análise de variância (ANOVA): Fonte de variação Soma Quadrática Grau de Liberdade Média F0 Regressão SQR = B.Sxy 1 MQR MQR/MQE Erro SQE = SQT – B.Sxy n - 2 MQE Total SQT n - 1 Prof. Dr. Márcio A. Fiori - mfi@unesc.net

Exercício Usar a análise de variância para testar a significância da regressão usando os dados de pureza do oxigênio Fonte de variação Soma Quadrática Grau de Liberdade Média F0 Regressão 152,39 1 130,25 Erro 20,98 19 1,17 Total 173,37 20 Prof. Dr. Márcio A. Fiori - mfi@unesc.net