Aula 04 – Matemática I – Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli DERIVADA Aula 04 – Matemática I – Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli
“ No instante que o cavalo atravessou a reta de chegada, ele estava correndo a 42 mph”. Como pode ser provada tal afirmação? Uma fotografia tirada naquele instante mostrará o cavalo parado – não ajudará em nada. Existe certo paradoxo em tentar estudar o movimento do cavalo em um instante de tempo específico, pois, ao focar em um único instante de tempo, interrompemos o movimento! É supreendentemente difícil definir com precisão o que é a velocidade de um objeto em algum instante de tempo.
Problemas de movimento foram de central importância para os filósofos no século cinco a.C. A abordagem moderna, que se tornou famosa através do cálculo de Newton, consiste em deixar de procurar um conceito simples para o valor da velocidade em um dado instante e, em vez disso, olhar o valor da velocidade durante pequenos intervalos de tempo contendo o instante em questão.
A Derivada O cálculo é a matemática das variações e o instrumento principal para estudar as taxas de variações é um método conhecido como derivação. As taxas de variações são aplicadas em diversos ramos da Ciência.
Taxa de Variação nas Ciências Naturais e Sociais Aplicações
Na Física Usamos o conceito de derivada para estudar a velocidade instantânea de uma partícula a partir do seu deslocamento. Ou ainda para encontrar a aceleração instantânea a partir da variação da velocidade. A taxa instantânea da variação da velocidade com relação ao tempo é a aceleração. A taxa instantânea da variação do espaço com relação ao tempo é a velocidade.
Na Química Os químicos têm interesse em calcular a taxa de reação instantânea de uma reação química. A taxa de reação instantânea é calculada pelo quociente entre a concentração de um reagente em função do tempo, quando o intervalo de tempo tende para zero.
Na Biologia Os biólogos buscam calcular a taxa de crescimento instantâneo de indivíduos de uma população animal ou de plantas.
Na Economia Costuma-se calcular o custo marginal (taxa de variação instantânea de variação do custo em relação ao número de itens produzidos).
Outras Ciências Geólogo pode estar interessado em saber a taxa na qual uma massa de rocha fundida resfria pela condução de calor para o meio rochoso que a envolve.
Engenheiro Saber a taxa segundo a qual a água escoa para dentro ou para fora de um reservatório.
Agrônomo Calcular a produção de uma cultura por hectare com a adição de nitrogênio. Calcular a produção de matéria seca em função da quantidade de luz absorvida em diferentes densidades de plantas.
Geógrafo urbano Tem interesse na taxa de variação da densidade da população numa cidade à medida que a distância do centro aumenta.
Meteorologista Busca calcular a taxa de variação da pressão atmosférica em relação à altura.
Psicologia Interessados na teoria de aprendizagem estudam a chamada curva de aprendizado, que é o gráfico de desempenho de alguém aprendendo alguma coisa como função do tempo de treinamento.
Sociologia O cálculo diferencial é usado na análise da divulgação do boato (ou invocações, ou modismo, ou padrões). Denota-se p(t) a proporção de uma população que fica sabendo de um boato no tempo t, e a derivada dessa função representa a taxa de divulgação do boato.
Um experimento mental Observemos o valor da velocidade de um pequeno objeto (uma laranja) lançada no ar verticalmente para cima no instante t = 1 s. A laranja deixa a mão do lançador com uma velocidade alta, vai se tornando cada vez mais lenta até atingir sua altura máxima, depois aumenta o valor de sua velocidade à medida que desce e, por fim, “Spletch!”. Velocidade positiva Velocidade negativa
Suponha que queríamos determinar o valor da velocidade em t = 1 segundo, por exemplo. A tabela a seguir apresenta a altura y, da laranja acima do nível do solo como uma função do tempo. Durante o primeiro segundo, a laranja percorreu 90 – 6 = 84 pés, e durante o segundo seguinte ela percorreu apenas 142 – 90 = 52 pés então, a laranja deslocou-se mais rapidamente no primeiro intervalo, 0≤𝑡≤1, do que no segundo 1≤𝑡≤2. t(s) 1 2 3 4 5 6 y (pés) 90 142 162 150 106 30 Tabela – Altura da laranja acima do solo
Velocidade x Velocidade Escalar Suponhamos que um objeto se mova ao longo de uma reta. Convencionamos um sentido como sendo o sentido positivo e dizemos que a velocidade é positiva se estiver nesse mesmo sentido e negativa se estiver no sentido contrário.
No caso da laranja, para cima é positivo e para baio é negativo. Velocidade escalar a magnitude da velocidade é sempre maior ou igual a zero. Se s(t) for a posição de um objeto em algum instante t, então a velocidade média do objeto no intervalo 𝑎≤𝑡≤𝑏 é Velocidade média = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 𝑠 𝑏 −𝑠(𝑎) 𝑏−𝑎 Em palavras, a velocidade média de um objeto em um intervalo de tempo é o quociente entre a variação líquida na posição durante o intervalo e a variação no tempo.
Exemplo 1) Calcule a velocidade média da laranja no intervalo 4≤𝑡≤5. Qual o significado do sinal da sua resposta? Durante este intervalo, a laranja move-se por (106-150) = - 44 pés. Então, a velocidade média é – 44 pés/s. O sinal negativo significa que a altura está decrescendo e, portanto, a laranja está se movendo para baixo. 1 pé = 0,3048 m
Velocidade média A velocidade média é um conceito útil porque nos dá uma ideia aproximada do comportamento da laranja. Mas a velocidade média em um intervalo de tempo não resolve o problema de medir a velocidade da laranja exatamente no instante t = 1 segundo. Para chegar mais perto de uma resposta para essa pergunta, precisamos ver mais detalhadamente o que acontece perto de t = 1.
A Derivada Derivação método utilizado para estudar taxas de variação.
Tem-se a produção de milho por hectare 𝑓 (𝑘𝑔/ℎ𝑎) como função da quantidade de nitrogênio 𝑥 (𝑘𝑔/ℎ𝑎), cujos resultados são apresentados na tabela a seguir: x 10 20 30 40 50 60 70 80 f(x) 1451 1651,8 1816,6 1945,4 2038,2 2095,4 2115,8 2100,6 2049,4 Com base nesses dados, qual será a produção quando forem adicionados 22 kg/ha?
Derivada Para estimar a produção, avalia-se o que está acontecendo entre 20 e 30, encontrando a equação da reta que passa pelos pontos (20, 1816,6) e (30, 1945,4). Devemos calcular o coeficiente angular, ou taxa de variação: 𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂çã𝒐: 𝑓 30 −𝑓(20) 30−20
Este valor 12,88 representa a inclinação da reta unindo os pontos (20; 1816,6) e (30; 1945,4). Logo a equação da reta 𝑓(𝑥) = 𝑏 + 𝒂.𝑥, para qualquer 0≤𝑥≤10 a partir de x = 20, será: 𝑓 20+𝑥 =𝑓 20 +12,88𝑥 Com essa função podemos calcular o f(22).
Podemos ter uma taxa de variação diferente de acordo com o valor ∆𝑥. 5 10 15 20 25 30 35 40 f(x) 1451 1555,9 1651,8 1738,7 1816,6 1885,5 1945,4 1996,3 2038,2 Podemos calcular uma nova taxa de variação entre 20 e 25 para encontrar o f(22).
Se forem efetuadas novas medições de produção com intervalos de dosagem menores, isto é, tomando valores menores que ∆𝑥 2 , mais precisa será a estimativa para x = 22. Efetuando-se essas operações sucessivamente, tem-se um processo de limite, expresso como lim ∆𝑥→0 𝑓 20+∆𝑥 −𝑓(20) ∆𝑥
lim ∆𝑥→0 𝑓 20+∆𝑥 −𝑓(20) ∆𝑥 Este limite nada mais é que a derivada da função em x = 20 ou o valor da inclinação da reta tangente em x = 20, já que os pontos (20; 1816,6) e (20+∆x; f(20+ ∆x) estarão muito próximos pelo limite.
é chamada de quociente da diferença da função f(x). Derivada - Definição A expressão: 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) ℎ é chamada de quociente da diferença da função f(x). Tanto a taxa de variação quanto a inclinação podem ser determinados calculando o limite quando h tende a 0 de quociente diferença apropriado. Para unificar o estudo destas e outras aplicações que envolvem o limite de um quociente diferença, usamos a terminologia e notação a seguir.
Derivada de uma Função A derivada da função f(x) em relação a x é a função f’(x) dada por: 𝑓 ′ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) ℎ E o processo de calcular a derivada é chamado de derivação. Dizemos que uma função é derivável no ponto c se f’(c) existe, ou seja, se o limite do quociente diferença que define f’(x) existe no ponto x = c.
Exemplo Determine a derivada da função 𝑓 𝑥 = 4,9𝑥 2 .
Taxa de Variação instantânea como uma Derivada A taxa de variação de f(x) em relação a x no ponto x = c é dada por f’(c). A expressão analítica para os dados citados no problema inicial é uma função quadrática: 𝑓 𝑥 =−0,18 𝑥 2 +21,88𝑥+1451 Podemos calcular a taxa de crescimento para x = 22 através da derivada da função: f’(22).
Significado do sinal da Derivada f’(x) Se a função f é derivável em x = c, f é crescente em x = c f’(x) > 0 f é decrescente em x = c f’(x) < 0
Exemplo
Notação de Derivada A derivada f’(x) da função y = f(x) muitas vezes é escrita na forma 𝑑𝑦 𝑑𝑥 (dê y sobre dê x) ou 𝑑𝑓 𝑑𝑥 (dê f sobre dê x). Nesta notação, o valor da derivada no ponto x = c [f’(c)] é escrito na forma: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥=𝑐 ou 𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝑥=𝑐 Assim, por exemplo, se y = x², temos: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =2𝑥 E o valor da derivada no ponto x = -3 é dado por: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥=−3= 2𝑥 𝑥=−3=2. −3 =−6
Inclinação como uma derivada A inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto [c,f(c)] é dada por 𝑚 𝑡𝑎𝑛 = 𝑓 ′ 𝑐 . Usamos: 𝑦−𝑓 𝑐 = 𝑓 ′ 𝑐 𝑥− 𝑥 1 ou 𝑦−𝑓 𝑐 =𝑚 𝑥− 𝑥 1
Exemplo Calcule a derivada de f(x) = x³ e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva y = x³ no ponto x = -1. Qual a equação da reta tangente neste ponto?
Exercícios: 1) Calcule a derivada da função 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −1 e determine a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto x = 2.
Retire três palitos e obtenha apenas três quadrados. Descansando a mente Retire três palitos e obtenha apenas três quadrados.
Técnicas de Derivação
Esta regra é comprovada pela regra da potência. Regra da Constante Para qualquer constante c, 𝑑 𝑑𝑥 𝑐 =0 Em outras palavras, a derivada de qualquer constante é nula. 𝑓 𝑥 =𝑐 → 𝑓 ′ 𝑥 =0 Esta regra é comprovada pela regra da potência. 𝑓 𝑥 =15 → 𝑓 ′ 𝑥 =0
Regra da Potência 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 → 𝑓 ′ 𝑥 =𝑛. 𝑥 𝑛−1 Para qualquer número real n, 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑛 =𝑛. 𝑥 𝑛−1 Para calcular a derivada de xn, reduzimos de 1 o valor do expoente e multiplicamos o resultado pelo valor original do expoente. 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 → 𝑓 ′ 𝑥 =𝑛. 𝑥 𝑛−1 𝑓 𝑥 =2 𝑥 3 ;𝑓 𝑥 = 1 𝑥 2 ;𝑓 𝑥 = 𝑥 7
Regra da multiplicação por uma constante Se c é uma constante e f(x) é uma função derivável, 𝑐𝑓(𝑥) também é uma função derivável e 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑓 𝑥 =𝑐 𝑑 𝑑𝑥 [𝑓 𝑥 ] A derivada de um múltiplo é o múltiplo da derivada. 𝑔 𝑥 =𝑐𝑓 𝑥 → 𝑔 ′ 𝑥 =𝑐𝑓′(𝑥) 𝑓 𝑥 =3 𝑥 4 ;𝑓 𝑥 = 7 𝑥
Se f’(x) e g’(x) existem, então: Regra da soma Se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis, a soma 𝑆 𝑥 =𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 também é uma função derivável e 𝑆 ′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 + 𝑔 ′ 𝑥 , ou seja: 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 + 𝑑 𝑑𝑥 [𝑔 𝑥 ] A derivada de uma soma é a soma das derivadas das parcelas. ℎ 𝑥 =𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 . Se f’(x) e g’(x) existem, então: ℎ ′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 +𝑔′(𝑥) 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 + 8𝑥 + 5 𝑔(𝑦) = 9𝑦5 – 4𝑦²+2𝑦 + 7
Calcule a derivada das funções: 𝑦= 𝑥 −4 𝑦= 𝑥 9 −5 𝑥 8 +𝑥+12 𝑦=−2 𝑦=−0,02 𝑥 3 +0,3𝑥 𝑦= 𝜋 𝑟 2 𝑦= 1 𝑡 + 1 𝑡 2 − 1 𝑡 𝑦= 2𝑥 𝑦= 𝑥 5 −4𝑥² 𝑥³ 𝑦= 9 𝑡 𝑦= 3 𝑥 + 1 3 𝑥 𝑦= 𝑥 2 +2𝑥+3
Problemas Estima-se que daqui a x meses a população de um município será 𝑃 𝑥 = 𝑥 2 +20𝑥+8000. Qual será a taxa de variação da população com o tempo após 15 meses? Qual será a variação da população durante o 16º mês?
O produto interno bruto (PIB) de certo país é dado por 𝑁 𝑡 = 𝑡 2 +5𝑡+ 106 bilhões de dólares, onde t é o número de anos após 1995. Qual foi a taxa de variação do PIB em 2005? Qual foi a taxa de variação percentual do PIB em 2005?
Um corpo se move em linha reta de tal forma que sua posição no instante t é dada por 𝑠 𝑡 = 𝑡 3 −6 𝑡 2 +9𝑡+5. Determine a velocidade do corpo e discuta seu moimento entre os instantes t = 0 e t = 4. Determine a distância percorrida pelo corpo entre os instantes t = 0 e t = 4. Determine a aceleração do corpo e os intervalos de tempo nos quais está acelerando e desacelerando entre os instantes t = 0 e t = 4.