Análise de estabilidade e aplicação em sistemas de equações. Modelos de predador x presa

Estabilidade em modelos univariados de tempo discreto - valor da derivada no ponto de equilíbrio >-1 e <1. E em equações diferenciais (modelos contínuos)? Regra geral: derivada do modelo em relação à variável de interesse no ponto de equilíbrio tem de ser menor do que zero. Explicação: a derivada do modelo no ponto de equilíbrio >0 indica crescimento (afastamento do valor da variável no ponto de equilíbrio), <0 indica retorno ao equilíbrio. Maiores explicações – Analisar expansão de Taylor (final do capítulo 5 – Matthiopoulos).

Mas e no caso de sistemas de equações? Multivariados. A maneira mais fácil de resolver sistemas de equações é através do uso de matrizes. (Se não lembra das operações com matrizes – cap.6 Matthiopoulos, ou cap 2 Numerical Ecology) Ex (Matthiopoulos): Comunidade de herbaceas com 3 spp (g,s,r). Peso médio 10,12 e 16g, conteúdo calórico por massa: 17,17.8 e 15.8MJ.Kg -1. Amostra com 1905 indivíduos, peso total 20Kg, conteúdo calórico de 338MJ

Sistema de equações: r+s+g=1905 (abundância) 0.01g+0.012s+0.016r=20 (biomassa) s r=338 (conteúdo energético) Ce – produto da biomassa pelo conteúdo calórico por massa) 3 equações, 3 variáveis. Posso isolar e substituir – difícil para sistemas com mais de duas equações. Porém posso colocar na notação matricial C – matriz de coeficientes, x – vetor das variáveis, r – vetor das constantes C.x=r

Matriz identidade – tem a função do “1” no produto matricial. M.I=M

Mas o que representa uma matriz? Pense que cada coluna é uma dimensão, uma matriz 2x2 representa dois pontos no espaço bidimensional. 3x2 – 3 pontos num espaço bidimensional 4x3 – 4 pontos num espaço tridimensional 5x2 ? 40x15?

E estes pontos podem representar dois vetores que saem da origem e determinam os lados de um paralelogramo

Uma matriz 3x3 representa um volume, 4x4 um hipervolume. Pense agora nas matrizes de dados de espécies de diversas amostragens, também representam hipervolumes. Vamos definir agora um elemento chamado determinante. Ele representa a área daquele paralelogramo, ou o volume de uma matriz 3x3 e etc.

Determinante – x1.y2 – y1.x2

Super... Mas e aí? Como resolvo sistemas de equações? (coeficientes, variáveis e constantes) Cx=r Como acho os valores de x? x=C -1.r. Não posso falar em divisão de matrizes, mas posso falar em produto pela matriz inversa.

Matriz Inversa É aquela que multiplicada pela original resulta na identidade M.M -1 = I = M -1.M (análogo a x.x -1 = 1) Somente matrizes quadradas são inversíveis e nem toda a matriz quadrada pode ser inversível. Matrizes que possuem inversa: não singulares, as que não possuem singulares. Singulares – determinante = 0 inconsistente ou não especificado Como inverto? Computador.

Se C for não singular, o sistema x=C -1 r tem apenas uma única solução. (apenas um valor para cada variável). Depois preciso avaliar se constantes (r) não são 0 Cx=0 – sistema homogêneo. Se detC ≠ 0, a solução é x=0 (todas as variáveis tem valor 0). Se vetor de constantes r ≠ 0, e Cé não singular, Cx=r tem uma única solução.

Mas e sistemas dinâmicos complexos, discretos ou contínuos? Um sistema de modelos contínuos lineares: análise de equilíbrio e estabilidade. Passos: Encontrar pontos de equilíbrio Analisar estabilidade nos pontos de equilíbrio Verificar se as soluções próximas ao equilíbrio são monotônicas ou oscilam Analisar se a estabilidade dos elementos do sistema se mantém em longo prazo.

Se c ≠ 0, a solução de equilíbrio pode ser investigada pela análise de auto-valores da matriz M. Autovalores são números que podem expressar M em um produto vetorial. Imagine M e um vetor v Autovalor é um numero que satisfaz a proposição: Mv=λv (veremos no equilíbrio de sistemas discretos Mn t = λn t )

Mv=λv Mv-λv=0 (M-λI)v=0 (equação característica) Soluções não triviais (v≠0) existem se determinante (M-λI) =0 É assim que se calculam os autovalores. Ao desenvolver a equação característica, chegamos a um polinômio de grau igual ao grau da matriz. Existem tantas soluções quanto o grau da matriz (soluções complexas)

No caso de sistemas de equações, esta matriz indica a variação para longe da solução de equilíbrio. O que nos interessa é se a parte real dos autovalores é negativa – estabilidade. Se o auto valor dominante for complexo a solução é oscilatória

Outro exemplo modelo predador presa