Cálculo Numérico / Métodos Numéricos

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1 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos
Determinação numérica de autovalores e autovetores Método de Francis (QR) 25 Nov :36

2 Método de Francis (QR) Similar ao método LR
25 Nov :13 Método de Francis (QR) Similar ao método LR Decompomos a matriz em um produto de duas matrizes. A1 = R1Q1 Para obter a matriz seguinte da seqüência {Ak}, invertemos a ordem do produto: A2 = Q1R1 E novamente decompomos e continuamos o processo...

3 Método de Francis (QR) A=A1, A1=Q1R1 A2=R1Q1 e decompõe A2=Q2R2,
25 Nov :13 Método de Francis (QR) A=A1, A1=Q1R1 A2=R1Q1 e decompõe A2=Q2R2, A3=R2Q2 e decompõe A3=Q3R3, ... Ak=Rk-1Qk-1 e decompõe Ak=QkRk

4 Método QR No caso do método QR:
25 Nov :13 Método QR No caso do método QR: A primeira matriz do produto é ortogonal (QQt = QtQ= I) A segunda matriz é uma matriz triangular superior.

5 25 Nov :13 Observações A decomposição de A no produto LR só é possível se A satisfizer o teorema LU. A decomposição QR sempre é possível. A seqüência {Ak} converge para uma matriz triangular superior. Os elementos da diagonal da matriz Ak são os autovalores procurados.

6 25 Nov :13 Observações O processo termina quando o maior valor absoluto da matriz Ak (abaixo da diagonal principal) for menor que a precisão dada (). Em cada passo do método é necessário determinar as matrizes Qk e Rk onde Qk é uma matriz ortogonal e Rk é triangular superior.

7 Como obter Q e R ? Queremos A = QR
25 Nov :13 Como obter Q e R ? Queremos A = QR Vamos achar uma matriz U1, ortogonal, tal que a multiplicação de U1 por A zera o elemento a21. Vamos achar uma matriz U2, ortogonal, tal que a multiplicação de U2 por U1A zera o elemento a31. e assim por diante...

8 Como obter Q e R ? Logo: Un... U2U1 A = R
25 Nov :13 Como obter Q e R ? Logo: Un... U2U1 A = R Como as matrizes U são ortogonais, U-1 = UT: A = U1T U2T... UnT R Q

9 Matriz rotacional Como matriz U, vamos usar matrizes rotacionais:
25 Nov :13 Matriz rotacional Como matriz U, vamos usar matrizes rotacionais: Definição: Uma matriz rotacional U difere da matriz identidade em quatro elementos. Esses quatro elementos são da forma: Para qualquer matriz rotacional U, a matriz AU difere de A apenas na p-ésima e q-ésima coluna e a matriz UA difere de A apenas na p-ésima e q-ésima linha. Para qualquer pq, o ângulo pode ser escolhido de modo que o elemento q£p de UA seja zero.

10 25 Nov :13 Matriz rotacional Ex.: 3x3: Ex.: Caso geral:

11 Obtendo cos e sen q p Para zerar a21, fazemos U1A:
25 Nov :13 Obtendo cos e sen q p Para zerar a21, fazemos U1A: No caso geral, queremos zerar o elemento aqp.

12 25 Nov :13 Zerando o elemento apq Então: e, logo:

13 25 Nov :13 Exemplo geral (caso 3x3) Zerando o elemento a21:

14 25 Nov :13 Exemplo geral (caso 3x3) Zerando o elemento a31:

15 25 Nov :13 Exemplo geral (caso 3x3) Zerando o elemento a32:

16 Exemplo geral (caso 3x3) Obtendo as matrizes Q e R:
25 Nov :13 Exemplo geral (caso 3x3) Obtendo as matrizes Q e R:

17 Exemplo Determinar os autovalores da matriz com precisão 10-2.
25 Nov :13 Exemplo Determinar os autovalores da matriz com precisão 10-2. Solução: Como a21 já é igual a zero, não precisamos nos preocupar com ele. Começamos zerando a31.

18 25 Nov :13 Exemplo (solução) Obtendo U2 (zerando a31)

19 25 Nov :13 Exemplo (solução) Usaríamos a matriz U2U1A para calcular agora a matriz U3. Mas veja que isso não é necessário, pois a31 já é igual a zero! Logo, U2A = R1 e:

20 Calculando A2 e verificando critério de parada.
25 Nov :13 Calculando A2 e verificando critério de parada. Não precisamos de U1 nem de U3 Maior que 10-2, continuamos.

21 25 Nov :13 Iteração 2 Determinar U2 tal que U2A2 tem a'31 = 0

22 25 Nov :13 Iteração 2

23 Iteração 3 e critério de parada
25 Nov :13 Iteração 3 e critério de parada Todos os elementos abaixo da diagonal são menores que o erro pedido (10-2) Logo, os autovalores são os elementos da diagonal:  = , 1, (Os autovalores são, com precisão maior: , 1 e ).

24 25 Nov :13 Exercícios