FAPAN: Faculdade do Pantanal

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1 FAPAN: Faculdade do Pantanal
Curso : Administração de Empresa 1º semestre Ano Letivo: / 1 Profº: Esp. Gledson Nilton Emiliano

2 MATEMÁTICA INTRODUTÓRIA
A Matemática, olhada corretamente, possui não apenas verdade, mas surpresa beleza – uma beleza fria e austera, como a de uma escultura ... sublimamente pura e capaz de perfeição severa, tal como somente a arte de maior qualidade pode apresentar (Bertrand Russel) “ Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real”. (LOBACHEVSKY)

3 CONJUNTOS NUMÉRICOS A Matemática se originou de convívios sociais, das trocas, das contagens, do comércio, tendo em vista o caráter prático, utilitário e empírico. As primeiras noções relativas ao conceito de número, nos remetem aos primórdios da raça humana. Encontros arqueológicos em cavernas levam-nos a estimar contagens a mais de anos.

4 Os números Os números devem ter surgidos da necessidade do ser humano fiscalizar os próprios bens, para sua própria sobrevivência, em registros de seu interesse : - Marcações e desenhos em cavernas, riscos em ossos ou madeiras que representariam animais abatidos e outros.

5 Vivemos em um mundo matematizado.
Como faríamos as operações e registros financeiros? Como comparar medidas? Como fazer localizações? Como seria nosso dinheiro? Sem os números, qualquer registro numérico teria de ser feito através de uma linguagem escrita, acarretando maiores dificuldades.

6 Conjuntos numéricos Os conjuntos numéricos surgiram para suprir as necessidades humanas quando efetuamos: Contagens Registros Cálculos Localizações

7 Números Naturais (N): Qual é o número do seu sapato?
Qual é o número da sua casa? Qual é o número do seu celular? Qual é o CEP da sua cidade? Quantas pessoas tem nesta sala? Qual é a senha do seu cartão de crédito??????? É um conjunto de números criado/construído possivelmente para o homem efetuar comparações entre o número de elementos de diferentes conjuntos.

8 Representação dos Naturais
O conjunto dos números naturais é representado por: lN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...} Representação em uma reta numérica: IN

9 Subconjuntos importantes dos naturais:
lN* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...} (* asterisco significa a exclusão do zero). lNp = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ..., 2n, ...} com n Є lN , representa o conjunto dos números pares. lNi = {1, 3, 5, 7, 9, 11,13, ..., 2n+1, ....} com n Є lN, representa o conjunto dos números ímpares. P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... } conjunto dos números primos.

10 Números Inteiros (Z) Criado principalmente para as relações financeiras. O conjunto dos números inteiros é representado por: Z = { ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}, números negativos, nulo e positivos. Representação em uma reta numérica:

11 Subconjuntos de Z: Z* = { ..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}
Z+ = IN = {0, +1, +2, +3, +4, ...} inteiros não-negativos Z- = { ...,-4, -3, -2, -1, 0} inteiros não-positivos.

12 Módulo ou valor absoluto
Módulo ou valor absoluto de um número inteiro: é a distância da origem ao ponto que representa o número. Assim representamos o módulo de -2 por: | -2 | = 2 e módulo de 2 por |2|=2. Números opostos possuem o mesmo módulo: |- 10| = |+10|

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14 Conjunto dos números Racionais (Q):
A representação desse conjunto é feito através de uma propriedade comum à todos seus elementos. Q = { x | x = a/b, com a Є Z, b Є Z e b≠ 0} Q é representado por todo número que pode ser escrito através de um quociente entre dois inteiros, com denominador diferente de zero, mais conhecido por nós como fração.

15 Números racionais: todos os naturais e inteiros: 0, -2, 4, 10, - toda fração: 1 4 , 2 3 , - todo número decimal exato: 0,25; 1,2; 3,289;... - todo número decimal infinito periódico (dízima periódica): 0,333...; 1, ; 2,

16 Determinação da fração geratriz de um número decimal: (transformar para forma fracionária)
b) 1,25= c) 3,143= d) 0,222...= e) 0, = f) 0, =

17 O conjunto dos números inteiros é um subconjunto dos racionais
Existe uma relação de inclusão: Q Z IN

18 PORCENTAGEM Porcentagem é uma razão cujo o denominador é igual a 100.
É representada pelo símbolo “%”que é lido “por cento”. Forma de taxa percentual: % Forma de fração centesimal: 35/100 Forma decimal (taxa unitária) : 0,35

19 EXEMPLOS 23% = 45% = 3% = 100% = 200% = 0,3%

20 Exemplos: 01- Calcular 15% de 120. 02- Um artigo com preço R$ 120,00 tem seu valor reajustado para R$ 150,00. Qual foi o percentual de aumento? 03- Um artigo de preço R$ 150,00 teve uma redução em seu preço passado a valer R$ 120,00. Qual o percentual relativo a essa redução? 04- Uma dívida no valor de R$ 250,00 tem desconto de 4% se paga com antecipação de pelo menos 15 dia. Sendo paga 20 dias antes do vencimento, terá, valor, em reais de: R$ 246,00 b) R$ 244, c) R$ 240, d) R$ 236,00 

21 Problemas envolvendo porcentagem:
01-Por quanto devo multiplicar um valor C para atualizá-lo após: “chamamos este número (f) de fator de atualização (correção) um aumento de 35% um aumento de 20% um desconto de 20% um desconto de 3%

22 02 - O governo brasileiro, em abril de 2006, aprovou o aumento do valor do salário mínimo, que passava de R$ 300,00 para 350,00. Qual foi o percentual de aumento? 03 - Em uma sala em que 75% dos alunos são rapazes, estudam apenas sete moças. Quantos alunos tem a classe?

23 04 - A produção de uma indústria de roupas passou , em um ano, de 60 mil para 78 mil peças.
a) Qual foi o aumento percentual de produção? b) Se esse percentual de aumento se repetir para o ano seguinte, qual será a previsão da produção? 05 – Em uma loja o preço de uma calça foi reajustado de R$ 90,00 para R$ 112,50. Determine a taxa percentual de aumento do produto.

24 06 – Em uma loja o preço de uma camisa foi aumentado em 20%
06 – Em uma loja o preço de uma camisa foi aumentado em 20%. Percebendo que as vendas sofreram uma grande queda, o gerente resolveu fazer uma promoção de 20%. O preço final da camisa (após a promoção) é menor, maior ou igual ao preço original (antes do aumento)? E qual será o preço da camisa na promoção? 07 –(ANTT) Um comerciante aumentou o preço de um certo produto em 30%. Como a vendo do produto caiu, o comerciante, arrependido, pretende dar um desconto sobre o novo preço de modo a fazê-lo voltar ao valor anterior do aumento. Nesse caso o comerciante deve anunciar um desconto de aproximadamente: a) 19% b)23% c)25% d) 28% e)30%

25 08- O preço de uma certa mercadoria tem reajuste em um bimestre de 38%
08- O preço de uma certa mercadoria tem reajuste em um bimestre de 38%. Se no primeiro mês o aumento foi de 20%, qual foi o aumento no 2º mês? a) 15% b) 16% c) 17% d) 18% 09 – Um investimento foi realizado em um período com inflação de 30% gerando uma taxa de rendimento de 56%. Qual a taxa de rendimento desse investimento descontada a inflação? a)26% b)22% c)20% d) 18%

26 10- O preço de fábrica de uma mercadoria é de R$ 3,50, mas, ao comprá-la na fábrica , o revendedor deve pagar ainda um imposto no valor de 10% desse preço. Quando a mercadoria é comprada no varejo por um consumidor, seu preço final é acrescido de 20%. Calcular seu preço no varejo e a taxa total de acréscimo sobre o preço, da fábrica, que pagará o consumidor.

27 Conjunto dos números Irracionais (I):
Há números decimais que não admitem a sua representação na forma fracionária de dois inteiros; são os decimais infinitos não-periódicos. Esses números são chamados números irracionais.

28 Pela grande diversidade de números irracionais, vamos citar apenas alguns exemplos:
2 =1, …. 3 =1, ….. 𝜋=3, …. 𝑒=2, … Todos são números decimais infinitos que não apresenta periodicidade.

29 Conjunto dos números Reais (lR)
Da reunião do conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais ( I ) obtemos o conjunto dos números reais. Então temos : lR = Q U I = { x/ x Є Q ou x Є I}

30 O diagrama a seguir relaciona os conjuntos numéricos estudados

31 INTERVALOS REAIS Certos subconjuntos de lR, determinados por desigualdades, têm grande importância na Matemática: são os intervalos. Assim, dados dois números reais a e b, com a < b, tem-se: Intervalo aberto: a b IR

32 Intervalo fechado: a b IR [a; b] = {x Є IR| a ≤ x ≤ b} Intervalo semi- fechado: [a; b[ = {x Є IR| a ≤ x < b}

33 Intervalo semi- fechado:
a b IR [a; b[ = {x Є IR| a < x ≤ b} Intervalo infinito: “valores maiores que...” a [a; +∞[ = {x Є IR| x ≥ a }

34 b IR ]- ∞; b] = {x Є IR| x ≤ b } ]- ∞; b[ = {x Є IR| x < b }

35 a c b IR [a; b] – {c} = {x Є IR| a ≤ x ≤ b e x ≠ c } ∞ ∞ IR = {- ∞; + ∞}

36 EQUAÇÕES : Equilíbrio, igualdades, incógnitas.
Equação de 1º grau: é toda equação que pode ser escrita na forma ax + b = 0, com a Є IR* e b Є IR. 2x + 4 = 8 2x = 8 – 4 2x = 4 x = 4/2 x = 2

37 6.(2x – 1) – (7x + 4) = 2.(3x – 2) 12x – 6 – 7x – 4 = 6x – 4 12x – 7x – 6x = – 4 – x = ( -1 ) x = – 6 S = { - 6}.

38 Equação com frações 4𝑥 3 + 3𝑥 2 = 𝑥 5 + 1 2 40𝑥+45𝑥 30 = 6𝑥+15 30
4𝑥 3 + 3𝑥 2 = 𝑥 40𝑥+45𝑥 30 = 6𝑥+15 30 40x +45x – 6x = 15 79x = 15 x = 15/79

39 Equação do 2º grau: É toda equação que pode ser escrita na forma ax² + bx + c = 0 , com a ≠ 0. Fórmula resolutiva: determina os valores de x. x = −𝒃± ∆ 𝟐.𝒂 onde Δ = b² – 4.a.c .

40 O discriminante : ∆ Δ > 0 → a equação possui duas raízes reais
(x’ ≠ x”) . Δ = 0 → a equação possui apenas uma raiz real ( x’= x”). Δ < 0 → a equação não possui raízes reais, (x’ e x”).

41 01 - Resolva as seguintes equações:
a) x² +2x – 3 = 0 b) (x + 1)² = 2(x + 1) c) 5x² + 4x + 1 = 0 d) 8x² – x = 0

42 02 - Resolva e responda os seguintes problemas:
a) Para produzir uma determinada peça, uma empresa tem um custo fixo de R$ 5,00, independente do número de peça produzidas, e um custo de R$ 2,00 para cada unidade produzida . Qual o número de unidades produzidas se o custo total da produção dessas peças foi de R$ 55,00?

43 Mário foi de táxi de sua casa até a escola onde estuda
Mário foi de táxi de sua casa até a escola onde estuda. Ao entrar no carro observou que o taxímetro marcava R$ 3,20. Chegando à escola Mário pagou R$ 21,20. Sabendo que a distância entre sua casa e a escola é de 12 Km, qual o valor do quilômetro rodado?

44 c) A quantia de R$ 200,00 será repartida entre dois sócios (S1 e S2 )
c) A quantia de R$ 200,00 será repartida entre dois sócios (S1 e S2 ). Sabendo que o sócio S1 deve receber R$ 40,00 a mais que o outro, quanto deve receber cada um ?

45 Equações exponenciais: Equações com incógnita nos expoentes.
Uma equação exponencial tem sua condição de existência: “ a base da potência com incógnita no expoente deve ser maior que zero e diferente de “1”. ( b >0 e b≠ 1) Exemplos: a) 𝟒 𝒙 =𝟑𝟐 𝟐𝟓 𝒙+𝟏 = 𝟓 𝒙 ( 𝟏 𝟑 ) 𝟐𝒙 = 𝟖𝟏

46 Como resolver uma equação exponencial:
A técnica mais simples para resolver uma equação exponencial é reduzir os dois membros, através de transformações, para uma mesma base. Desta forma potencias com a mesma base nos indicará expoente com mesmo valor. Observe nos exemplos:

47 a) 𝟒 𝒙 =𝟑𝟐 ( 𝟐 𝟐 ) 𝒙 = 𝟐 𝟓 𝟐 𝟒𝒙 = 𝟐 𝟓 4x = 5 x = 5/4

48 b) 𝟐𝟓 𝒙+𝟏 = 𝟓 𝒙 5 2 𝑥+1 = 5 𝑥 2 5 2𝑥+1 = 5 𝑥 2 2x + 1 = 𝑥 2 4x + 2 = x
5 2 𝑥+1 = 5 𝑥 2 5 2𝑥+1 = 5 𝑥 2 2x + 1 = 𝑥 2 4x + 2 = x 4x – x = -2 3x = -2 x = −2 3

49 c) 𝟏 𝟑 𝒙 = 81 ( 𝟑 −𝟏 ) 𝒙 = 𝟑 𝟒 𝟑 −𝒙 = 𝟑 𝟒 - x = 4 .(-1) X = - 4
( 𝟑 −𝟏 ) 𝒙 = 𝟑 𝟒 𝟑 −𝒙 = 𝟑 𝟒 - x = 4 .(-1) X = - 4 S = { -4}

50 FUNÇÕES: RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS
Presente quando relacionamos duas grandezas variáveis. Muitas situações práticas na área de administração de empresa podem ser representadas por funções matemáticas.

51 Nas análises iniciais das funções, ressaltamos conceitos como :
Representações por fórmulas, tabelas e gráficos; Coeficientes numéricos; Crescimento e decrescimento, Estudo do sinal de uma função; Pontos notáveis, interceptos ; Valores numéricos;

52 Mas quando estaremos diante de uma relação que é função?
Dado dois conjuntos não-vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que diz como associar cada elemento x Є A a um único elemento y Є B. todos os elementos x Є A têm correspondente y Є B; a cada elemento de x Є A corresponde um único elemento y Є B.

53 Relações representadas por diagramas

54 A B A B A B 4 9 -3 -2 +2 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 5 10 20 1 2

55 A B -3 -2 +2 +3 -1 +1

56 Existem três modos de descrever uma função.
O primeiro consiste em fornecer a fórmula pa­ra a função juntamente com as limitações nos valores da variável independente. Temos aqui uma função especificada desta forma: 𝒇 𝒙 = −𝟐 𝒙 𝟐 −𝟑𝒙+𝟏 (−𝟑≤𝒙 ≤𝟒)

57 0 segundo método para descrever uma função é graficamente :

58 O terceiro método para descrever uma função é pelo fornecimento de uma tabela com os valores da função, como mostrado na Tabela . Uma função descrita deste modo é dita estar numericamente definida. x f(x) -3 -8 0,5 -1 -2,5 -4 1 -2 2 -13 -1,5 2,5 -19 3 -26 -0,5 3,5 -34 4 -43

59 Mês (t) preço (R$) 1 6,7 2 6,75 3 6,8 4 6,88 5 6,95 6 7,01 7 7,08 8 7,14 9 7,2 10 7,28 11 7,36 12 7,45 A tabela ao lado apresenta Preço médio do quilo do contra filé em São Paulo no ano de 2003 para cada mês do ano. Temos uma relação matemática entre as grandezas “tempo” e “preço”.

60 Representação gráfica:

61 Apresentação das equações e coeficientes:

62 Vendas de CD t (meses) v(vendas em milhares) 0,5 1 2 4 8 6 28 84 10
0,5 1 2 4 8 6 28 84 10 168 12 223 14 243 16 248 18 250 20 A tabela apresenta uma escala de tempo a partir do lançamento do produto CD assim como o respectivo valor de suas vendas (em milhares)

63 Representação gráfica:

64 A linha de tendência linear não se adapta bem aos pontos da nuvem de dispersão

65 Linha de tendência: “polinomial de 6º grau”.

66 Domínio, contradomínio e conjunto imagem.
Dada uma função f de A em B, onde f representa a relação entre as variáveis do conjunto A e as do conjunto B: Domínio (A) Contradomínio (B) 𝑋 1 𝑋 2 𝑋 3 ... 𝑦 4 ... 𝑦 1 𝑦 2 𝑦 3

67 Conforme o diagrama o domínio é representado pelos elementos :
D(f) = { 𝑿 𝟏 , 𝑿 𝟐 , 𝑿 𝟑 } que representa o conjunto formado pelas variáveis independentes. O contradomínio é representado pelo conjunto B: CD(f) = B = { 𝒚 𝟏 , 𝒚 𝟐 , 𝒚 𝟑 , 𝒚 𝟒 }, que representam os valores possíveis para a função. Os valores de “Y” que forma a relação são as imagens de “X”. Im = { 𝒚 𝟏 , 𝒚 𝟐 , 𝒚 𝟑 }.

68 Domínio em um contexto:
o domínio é constituído de todos os valores reais de x para os quais tenha significado o cálculo da imagem. Em uma função custo C(x)= x, os valores de x não podem ser negativos (não podemos ter quantidades negativas). Além disso, caso o produto seja indivisível, por exemplo, quando x é a quantidade de carros, o domínio é formado por números inteiros não negativos (IN).

69 01- Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, vamos considerar a função f: A B que transforma x ЄA em 2x Є B. 02- Uma firma de corretagem mobiliária cobra uma comissão de 6% nas compras de ouro na fai­xa de R$50,00 a R$300,00. Para compras excedendo R$ 300,00, a firma cobra 2% do total da com­pra mais R$12,00. Denote por “x” o valor do ouro comprado (em reais) e por f(x) a comissão cobrada em função de x. a) Descreva f (x) b) Encontre f(100) e f (500).

70 Uma firma que conserta televisores cobra uma taxa fixa de R$ 40,00 de visita mais R$ 20,00 por hora de mão-de-obra. Então o preço y, que se deve pagar pelo conserto de um televisor é dado em função do número x de horas de trabalho (mão-de-obra). 03 – Um vendedor recebe mensalmente um salário fixo de R$ 800,00 mais uma comissão de 5% sobre as vendas do mês. Em geral, cada duas horas e meia de trabalho, ele vende o equivalente a R$500,00 . a) Qual será o salário mensal em função do número x de horas trabalhadas por mês? b) Se ele costuma trabalhar 220 horas por mês o que é preferível : um aumento de 20% no salário fixo ou um aumento de 20% ( de 5% para 6%) na taxa de comissão?

71 04 – O custo p de produção, em reais, de cada vaso depende da quantidade q de vasos fabricados, e essa quantidade depende do número n de horas de funcionamento de uma máquina. Essas dependências são descritas pelas funções : 𝑝= 𝑞 e q = 200n se essa máquina funcionar por apenas 5 horas, qual será o custo de produção de cada vaso em reais?

72 INTERCEPTOS São os pontos de intersecção do gráfico de uma função com os eixos. Intersecção com o eixo x têm coordenadas (x’,0) x-interceptos ou raízes da função. Intersecção com o eixo y têm coordenadas (0, y’) e são chamados de y-interceptos. Exemplo: Vamos obter os pontos de intersecção do gráfico das seguintes funções: a) f(x) = x b) g(x) = x2 + 2x c) h(x) = (x2 – 1)(x – 2)

73 Função Crescente e Decrescente
f é crescente em [a, b] então se : “aumenta o valor de x”, dentro do intervalo, “as imagens correspondentes também aumentam”.

74 f é decrescente num intervalo [a,b] então aumenta o valor de x, dentro do intervalo, as imagens correspondentes vão diminuindo.

75 Função constante Caso a função tenha a mesma imagem em todos os pontos do intervalo [a,b], dizemos que a função é constante naquele intervalo.

76 Obtenha os intervalos nos quais a função dada é crescente e nos quais é decrescente.

77 VALOR MÁXIMO E VALOR MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO:
𝑥 0 ponto de máximo relativo se as imagens de todos os valores de x pertencentes ao domínio, situados num intervalo centrado em xo, forem menores ou iguais a imagem de xo. xo é um ponto de mínimo relativo se as imagens de todos os valores de x pertencentes ao domínio situados num intervalo centrado em xo forem maiores ou iguais á imagem de xo . A imagem de f(xo) é chamado de valor mínimo de f.

78 Graficamente

79 Máximo e mínimo absoluto
Seja f(x) uma função contínua em [a, b]. Os pontos de máximo e mínimo absoluto de f(x) ocorrem em um ponto de máximo relativo e mínimo relativo, ou em uma das extremidades do intervalo [a, b], como podemos ver no seguinte gráfico:

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81 Exercícios: Máx. absoluto Mínimo absoluto

82 02 – Uma calculadora é vendida por R$ 200,00 a unidade.
a) Sendo x a quantidade vendida, qual será a fórmula matemática que representa a receita de vendas? b) Determine o domínio e o conjunto imagem desta função. 02 – Uma livraria vende uma revista por R$ 5,00 a unidade. Seja x a quantidade vendida. a) Obtenha a função receita R(x) e calcule os valores de R(40), R(50) e R(100). b) Qual a quantidade que vede ser vendida para dar uma receita igual a R$ 700,00?

83 03 – O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função C(x) = 100+2x.
a) Qual o custo de fabricação de 10 unidades? b) Qual o custa de fabricação da 10ª unidade, já tendo sido fabricados nove unidades? 04 – Chama-se custo médio de fabricação de um produto ao custo de produção dividido pela quantidade produzida. Indicando o custo médio correspondente a x unidades produzidas por Cme(x), teremos : Cme(x) = 𝑪(𝒙) 𝒙 -O custo de fabricação de x unidades de um produto é C(x) = x. a) Qual o custo médio de fabricação de 20 unidades? b) Qual o custo médio de fabricação de 40 unidades? c) Para que valor tende o custo médio à medida que x aumenta?

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