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ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS
PROF. Carlos A. Gomes
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* O que significa medir uma grandeza?
Medir uma grandeza significa compará-la com outra de mesma espécie que é tomada por unidade. * O que é a área de uma figura plana? É uma medida da porção do plano que é cercada (ocupada) pela figura. * Como encontrar a medida da área de uma figura plana? Devemos comparar a sua superfície (porção do plano que ela ocupa) com a de outra figura que é tomada como uni- dade.
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* Qual uma boa sugestão para a unidade de área ?
Um quadrado cujo lado mede uma unidade de comprimento. (ele será chamado de quadrado unitário)
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Definição geral de área
Dado um polígono P associamos a esse polígono um número real não negativo, chamado de área de P com as seguintes propriedades: I – Polígonos congruentes têm áreas iguais. II – Se P é um quadrado de lado 1, então (área de P) = 1. III – Se P pode ser decomposto como a reunião de n Polígonos P1.P2,...,Pn tais que dois quaisquer deles têm em comum no máximo alguns lados, então
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Áreas das principais figuras planas
QUADRADOS RETÂNGULOS PARALELOGRAMOS TRIÂNGULOS TRAPÉZIOS LOSANGOS CÍRCULOS
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* Quadrados Partindo da definição, num curso mais rigoroso, pode-se demonstrar que a medida de um quadrado de lado a é a2.
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* Retângulos Por quê?
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* Paralelogramos Por quê? Logo, A = b.h
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* Triângulos Por quê?
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* Observação importante !
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Outras formas de calcular a área de um triângulo:
Sabemos que: Mas, E daí,
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De um modo geral temos que:
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Área de um triângulo em função do semi-perímetro e
do raio da circunferência inscrita. Por quê ? + +
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Observação importante!!!
Na verdade a fórmula A=p.r funciona para qualquer Polígono circunscritível
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Área de um triângulo em função do raio da circunferência
circunscrita. Por quê ?
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Lembre que: ( Lei dos senos ) Já sabemos que: Mas,
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Fórmula de Heron Onde, Por quê ?
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Note que 2a+2b+2g=180° e assim temos que a+b+g=90°, Quando a+b+g=90°, Pois, Assim, Mas,
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E daí temos que:
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Mas, Perceba que: Mas, Assim,
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Sabemos que A = p.r . Assim temos que:
Lembrando que Segue que
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Algumas observações importantes:
I. Qual dos triângulos abaixo possui a maior área? Os dois triângulos têm a mesma área. A área de um triângulo não se altera quando a sua base permanece fixa e o terceiro vértice percorre uma reta paralela a base
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II. Num triângulo qualquer
uma das suas medianas o divide em dois triângulos de mesma área III. As três medianas de um triângulo o dividem em seis triângulos de mesma área.
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IV – Se no lugar das medianas tivermos três cevianas
concorrentes quaisquer, demonstra-se que: (Teorema de Ceva para áreas) V – Quando dois triângulos são semelhantes com razão de Semelhança k suas áreas apresentam razão k2. (por quê ?) VI – Quando dois triângulos têm a mesma altura a razão das suas áreas é igual a razão das suas bases.(por quê?)
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VII - Área de um triângulo equilátero.
VIII – Área de um hexágono regular.
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* Trapézio Por quê?
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* Losango Por quê?
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* Círculos Já vimos que
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Tomando um polígono regular com um grande número de
lados, isto é, o número de lados tendendo ao infinito, temos que esse polígono tende a uma circunferência. Assim temos que: (n lados)
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Note que : E daí concluímos que:
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FIM !
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