ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS

Apresentação em tema: "ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS"— Transcrição da apresentação:

1 ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS
PROF. Carlos A. Gomes

2 * O que significa medir uma grandeza?
Medir uma grandeza significa compará-la com outra de mesma espécie que é tomada por unidade. * O que é a área de uma figura plana? É uma medida da porção do plano que é cercada (ocupada) pela figura. * Como encontrar a medida da área de uma figura plana? Devemos comparar a sua superfície (porção do plano que ela ocupa) com a de outra figura que é tomada como uni- dade.

3 * Qual uma boa sugestão para a unidade de área ?
Um quadrado cujo lado mede uma unidade de comprimento. (ele será chamado de quadrado unitário)

4 Definição geral de área
Dado um polígono P associamos a esse polígono um número real não negativo, chamado de área de P com as seguintes propriedades: I – Polígonos congruentes têm áreas iguais. II – Se P é um quadrado de lado 1, então (área de P) = 1. III – Se P pode ser decomposto como a reunião de n Polígonos P1.P2,...,Pn tais que dois quaisquer deles têm em comum no máximo alguns lados, então

5 Áreas das principais figuras planas
QUADRADOS RETÂNGULOS PARALELOGRAMOS TRIÂNGULOS TRAPÉZIOS LOSANGOS CÍRCULOS

6 * Quadrados Partindo da definição, num curso mais rigoroso, pode-se demonstrar que a medida de um quadrado de lado a é a2.

7 * Retângulos Por quê?

8 * Paralelogramos Por quê? Logo, A = b.h

9 * Triângulos Por quê?

10 * Observação importante !

11 Outras formas de calcular a área de um triângulo:
Sabemos que: Mas, E daí,

12 De um modo geral temos que:

13 Área de um triângulo em função do semi-perímetro e
do raio da circunferência inscrita. Por quê ? + +

14 Observação importante!!!
Na verdade a fórmula A=p.r funciona para qualquer Polígono circunscritível

15 Área de um triângulo em função do raio da circunferência
circunscrita. Por quê ?

16 Lembre que: ( Lei dos senos ) Já sabemos que: Mas,

17 Fórmula de Heron Onde, Por quê ?

18 Note que 2a+2b+2g=180° e assim temos que a+b+g=90°, Quando a+b+g=90°, Pois, Assim, Mas,

19 E daí temos que:

20 Mas, Perceba que: Mas, Assim,

21 Sabemos que A = p.r . Assim temos que:
Lembrando que Segue que

22 Algumas observações importantes:
I. Qual dos triângulos abaixo possui a maior área? Os dois triângulos têm a mesma área. A área de um triângulo não se altera quando a sua base permanece fixa e o terceiro vértice percorre uma reta paralela a base

23 II. Num triângulo qualquer
uma das suas medianas o divide em dois triângulos de mesma área III. As três medianas de um triângulo o dividem em seis triângulos de mesma área.

24 IV – Se no lugar das medianas tivermos três cevianas
concorrentes quaisquer, demonstra-se que: (Teorema de Ceva para áreas) V – Quando dois triângulos são semelhantes com razão de Semelhança k suas áreas apresentam razão k2. (por quê ?) VI – Quando dois triângulos têm a mesma altura a razão das suas áreas é igual a razão das suas bases.(por quê?)

25 VII - Área de um triângulo equilátero.
VIII – Área de um hexágono regular.

26 * Trapézio Por quê?

27 * Losango Por quê?

28 * Círculos Já vimos que

29 Tomando um polígono regular com um grande número de
lados, isto é, o número de lados tendendo ao infinito, temos que esse polígono tende a uma circunferência. Assim temos que: (n lados)

30 Note que : E daí concluímos que:

31 FIM !