A irracionalidade das raízes inexatas

Apresentação em tema: "A irracionalidade das raízes inexatas"— Transcrição da apresentação:

1 A irracionalidade das raízes inexatas
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Curso de Licenciatura em Matemática à Distância A irracionalidade das raízes inexatas

2 Analisando um caso particular...
√2 é irracional? Suponhamos que √2 fosse racional, então teríamos p, q Є Z com mdc (p,q) = 1 tais que √2 = p/q (definição de número racional).

3 Daí: √2= p/q ↔ 2 = p2 / q2 ↔ 2q2 =p2 Isso mostra que p2 é par. Então p é par.

4 Mas então p e q são ambos divisíveis por 2.
Digamos p = 2k, com K Є Z . Substituindo na equação anterior (p2 =2q2) temos: (2k)2 = 2q2 ↔ 4k2 = 2q2 ↔ q2= 2k2 Isso mostra que q2 é par, então q é par. Mas então p e q são ambos divisíveis por 2. Absurdo!!! Pois mdc (p,q) = 1.

5 Portanto √2 não é racional. Logo é irracional.

6 Será que qualquer raiz inexata é um número irracional?

7 Esta demonstração é similar à anterior.
Analisando √p onde p é número primo e p>1... Esta demonstração é similar à anterior. Se √p fosse racional, teríamos √p = m/n, com m e n primos entre si. Então: √p= m/n ↔ p = m2 / n2 ↔ pn2 =m2

8 Isso mostra que m2 é divisível por p.
Logo, m também é divisível por p, ou seja, m=rp. (r Є Z) Daí: p2r2 = pn2 ↔ pr2 = n2 Significando que n também é divisível por p. O que é absurdo, pois m e n seriam ambos divisíveis por p e desta forma, m/n não seria fração irredutível.

9 Portanto, √p não é racional. Logo, é irracional.

10 Como todo número inteiro tem sua fatoração em números primos
concluímos que toda raiz quadrada inexata é um número irracional. Podemos continuar o raciocínio para provar que toda raiz inexata é irracional.

11 Exemplos: √18 = √32.2 = √32 .√2 = 3√2 √50 = √52 .2 = √52 . √2 = 5 √2
√21 = √7.3 = √7 . √3 Raiz cúbica de 2 Raiz quinta de 7