Lógica Proposicional-3

Apresentação em tema: "Lógica Proposicional-3"— Transcrição da apresentação:

1 Lógica Proposicional-3
Condicional e Bicondicional Provas informais e formais com condicionais Referência: Language, Proof and Logic Jon Barwise e John Etchemendy, 1999 Capítulos: 7-8

2 TC2- Lógica Proposicional
Condicional Implicação ou condicional material: ® P ® Q P é antecedente e Q consequente Linguagem natural se P então Q Se a Ana está na sala então a Rita está na biblioteca NaSala(ana) ® NaBib(rita) P só se Q [condição necessária] O Nilton é aprovado só se assistir a 75% das aulas Aprovado(nilton) ® Assiste75%(nilton) Q se P [condição suficiente] O Luís é bom aluno se tiver média de 15 Media15(luis) ® BomAluno(luis) Cristina Ribeiro

3 Tradução Combinado com negação: ØP ® Q
Q sempre que P, Q quando P, Q dado P Chove sempre que vou à praia NaPraia(eu) ® Chove P implica Q [valor de verdade, não causalidade] A Otília andar à chuva implica que fica molhada AndarChuva(otilia) ® Molhada(otilia) Combinado com negação: ØP ® Q Q a menos que P; a não ser que P, Q A Clara vai à praia a menos que chova ØChove ® NaPraia(clara) [se chover não se sabe...] Em fórmulas quantificadas: expressões mais naturais Todos os A’s são B´s Para todo o x (A(x) ® B(x))

4 ®: Semântica e Regra do jogo
TC2- Lógica Proposicional ®: Semântica e Regra do jogo P ® Q verdadeiro se e só se P é falso ou Q verdadeiro P Q P ® Q V V V V F F F V V F F V significado é ØPÚ Q Quando é falso: antecedente verdadeiro e consequente falso Não aumenta a potência da linguagem mas torna-a mais natural e fácil de entender Tarski´s World: P ® Q é abreviatura de ØP Ú Q no jogo: substitui e usa regra para Ú Cristina Ribeiro

5 Verdade lógica e consequência lógica
TC2- Lógica Proposicional Verdade lógica e consequência lógica Importância do condicional: reduzir consequência lógica a verdade lógica Q é consequência das premissas P1, … Pn se e só se é impossível todas serem verdadeiras e Q falso Então a fórmula (P1 Ù … Ù Pn) ® Q não pode ser falsa é logicamente verdadeira Cristina Ribeiro

6 TC2- Lógica Proposicional
Bicondicional sse Equivalência ou bicondicional material: « [condição necessária e suficiente] LN: se e só se… só no caso em que... n é par sse n2 é par Par(n) « Par(n2) Propriedades: P e Q logicamente equivalentes se e só se o bicondicional P « Q logicamente verdadeiro P Û Q sse; abreviatura; não é símbolo da FOL P « Q conectiva; logicamente verdadeiro; símbolo da FOL Exemplo: lei de DeMorgan Ø (P Ú Q) « (ØP ÙØ Q) é logicamente verdadeira P se Q P  Q P só se Q P ® Q Cristina Ribeiro

7 «: Semântica e Regra do jogo
TC2- Lógica Proposicional «: Semântica e Regra do jogo P « Q verdadeiro se e só P e Q têm o mesmo valor de verdade P Q P « Q V V V V F F F V F F F V significado é (PÙQ) Ú (Ø PÙØQ) Tarski´s World: P « Q é substituído por (P ® Q) Ù (Q ® P) no jogo: substitui e usa regra para ® Cristina Ribeiro

8 LN: o que decorre de uma frase?
TC2- Lógica Proposicional LN: o que decorre de uma frase? Ao traduzir LN para LPO: questão do que é ou não consequência da frase A Rita está na sala quando o Rui não está na sala ØNaSala(rui) ® NaSala(rita) ØNaSala(rui) « NaSala(rita) Na frase em LN: decorre de alguma maneira que se o Rui estiver na sala, então a Rita não estará Distinção a fazer: condições de verdade de uma afirmação outras coisas que decorrem da afirmação H.P. Grice: introduz noção de decorrência conversacional Cristina Ribeiro

9 Decorrência Conversacional
TC2- Lógica Proposicional Decorrência Conversacional Frase F, e conclusão C se C faz parte do significado de F: não pode ser cancelada por afirmações subsequentes û A Rita e o Rui estão na sala … mas o Rui não está na sala O Rui está na sala é parte do significado: não pode ser cancelado se C é mera decorrência de F: pode ser cancelada por afirmações subsequentes ü A Rita está na sala quando o Rui não está na sala … mas quando o Rui está na sala não sei onde está a Rita NaSala(Rita) ® ØNaSala(Rui) não faz parte do significado da afirmação: pode ser cancelado na afirmação seguinte sem contradição Cristina Ribeiro

10 Métodos de prova usando ® e «
TC2- Lógica Proposicional Métodos de prova usando ® e « Estritamente: podem usar-se só as regras para Ø, Ù e Ú Provas mais naturais: usam regras próprias para ® e « Passos de prova: Modus ponens ou eliminação do condicional tendo estabelecido P®Q e P pode inferir-se Q Eliminação do bicondicional tendo estabelecido Q«R ou R«Q, tendo Q pode inferir-se R Equivalências contrapositiva P®Q Û ØQ ® ØP P®Q Û ØP Ú Q Ø(P®Q) Û P Ù ØQ P«Q Û (P®Q) Ù (Q®P) P«Q Û (P Ù Q) Ú (ØP Ù ØQ) Cristina Ribeiro

11 Método de prova condicional
TC2- Lógica Proposicional Método de prova condicional Para provar P ® Q : Assumir P como premissa Provar Q Exemplo: A ® C é consequência de A ® B e B ® C Assumindo A: de A®B, por modus ponens infere-se B De B e B®C , por modus ponens infere-se C Provou-se C tendo assumido A, provou-se A®C Exemplo: Par(n2) ® Par(n) Assumindo Par(n2), e fazendo prova por contradição n é ímpar, n= 2m + 1 n2 = (2m+1)2 = 4 m2 + 4m + 1 = 2 (2 m2 + 2m) donde n2 é ímpar Contradiz a premissa, logo n é par Par(n2) ® Par(n) infere-se por prova condicional Cristina Ribeiro

12 TC2- Lógica Proposicional
Provas com « Prova condicional: para provar P « Q Assumir P e provar Q Assumir Q e provar P Para provar Q1, Q2, Q3 todos equivalentes: Expressão em LPO: Q1 « Q2 Q2 « Q3 Q1 « Q3 Em vez de 6 provas condicionais: provar um ciclo Q1 ® Q2 Q2 ® Q3 Q3 ® Q1 Cristina Ribeiro

13 TC2- Lógica Proposicional
Exemplo As condições seguintes nos números naturais são todas equivalentes: (1) n é par (2) n2 é par (3) n2 é divisível por 4 Provando (3) ® (2) ® (1) ® (3) Assumindo (3): se n2 é divisível por 4, é divisível por 2, logo (2) (2) ® (1) por contrapositiva: se n é ímpar, pode escrever-se n= 2m + 1 n2 = (2m+1)2 = 4 m2 + 4m + 1 = 2 (2 m2 + 2m) +1 é ímpar (1) ® (3) é evidente Cristina Ribeiro

14 Regras de inferência para ®
TC2- Lógica Proposicional Regras de inferência para ® Eliminação do condicional (® Elim) Introdução do condicional (® Intro) P ® Q M P Q P M Q P ® Q   Modus ponens Prova condicional Cristina Ribeiro

15 TC2- Lógica Proposicional
® nas provas formais 1. (A Ú B) ® C 2. A 3. A Ú B Ú Intro: 2 4. C ® Elim: 1,3 5. A ® C ® Intro: 2-4 Usar prova de ØØA a partir de A para provar o condicional A ® ØØA (sem premissas) 1. A 2. Ø A 3.   Intro: 1,2 4. ØØA Ø Intro: 2,3 5. A ® ØØA ® Intro: 1-4 Cristina Ribeiro

16 Regras de inferência para «
TC2- Lógica Proposicional Regras de inferência para « Eliminação do bicondicional (« Elim) Introdução do bicondicional (« Intro) P « Q (ou Q « P ) M P Q P M Q P « Q   Dupla prova condicional Cristina Ribeiro

17 TC2- Lógica Proposicional
« nas provas formais 1. Ø(P Ù Q) 2. ØP Ú ØQ Teor Prev(Teorema 2): 1 3. ØP Ú ØQ 4. Ø(P Ù Q) Teor Prev(Teorema 3): 3 5. Ø(P Ù Q) « (ØP Ú ØQ) « Intro: 1-2, 3-4 Cristina Ribeiro

18 Esquemas úteis Modus ponens Modus tollens Cancelamento
De A ® B e A Inferir B Modus tollens De A ® B e ØB Inferir ØA Cancelamento De A Ú B e ØB Inferir A Reforço do antecedente De B ® C Inferir (A Ù B) ® C Enfraquecimento do consequente De A ® B Inferir A ® (B Ú C) Dilema construtivo De A Ú B , A ® C, B ® D Inferir C Ú D