Limites Armando Paulo da Silva

Apresentação em tema: "Limites Armando Paulo da Silva"— Transcrição da apresentação:

1 Limites Armando Paulo da Silva armando@utfpr.edu.br www.pessoal.utfpr.edu.br/armando

2 Tangente vem do latim “tangens”, que significa tocando. Assim uma tangente é uma reta que toca a curva. COMO TORNAR PRECISA A IDÉIA DE TANGENTE? Para um círculo, poderíamos simplesmente, como Euclides, dizer que a tangente é uma reta que intercepta o círculo uma única vez. Reta tangente Prof. Armando Paulo da Silva

3 Reta tangente Prof. Armando Paulo da Silva

4 No caso geral não parece ser verdade como podemos ver no exemplo abaixo:No caso geral não parece ser verdade como podemos ver no exemplo abaixo: Reta tangente Prof. Armando Paulo da Silva

5 Graficamente o limite quando em Graficamente o limite quando em Prof. Armando Paulo da Silva

6 Interpretação de limite Prof. Armando Paulo da Silva

7 Se os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos quanto queiramos de L, desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a mas não iguais a a), então escrevemos, que deve ser lidoSe os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos quanto queiramos de L, desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a mas não iguais a a), então escrevemos, que deve ser lido como “o limite de f(x) quando x tende a a é L”. Exemplo: Tomemos a função.Exemplo: Tomemos a função. Definição: Prof. Armando Paulo da Silva

8 xf(x) 2,55,5 2,85,8 2,95,9 2,995,99 2,9995,999 2,99995,9999... Comportamento da função f(x) quando x se aproxima de 3 xf(x) 3,46,4 3,26,2 3,16,1 3,016,01 3,0016,001 3,00016,0001... Prof. Armando Paulo da Silva

9 Note que: - quanto mais x se aproxima de 3 por valores menores do que 3, mais o valor de f(x) se aproxima de 6. - quanto mais x se aproxima de 3 por valores maiores do que 3, mais o valor de f(x) se aproxima de 6. Logo, Matematicamente, afirma-se: Note que: - quanto mais x se aproxima de 3 por valores menores do que 3, mais o valor de f(x) se aproxima de 6. - quanto mais x se aproxima de 3 por valores maiores do que 3, mais o valor de f(x) se aproxima de 6. Logo, Matematicamente, afirma-se: Prof. Armando Paulo da Silva

10 Se os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos de L quanto queiramos desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a (mas maiores do que a), então escrevemosSe os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos de L quanto queiramos desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a (mas maiores do que a), então escrevemos Se os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos de L quanto queiramos desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a (mas menores do que a), então escrevemosSe os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos de L quanto queiramos desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a (mas menores do que a), então escrevemos Definição de limites laterais Prof. Armando Paulo da Silva

11 Relação entre limites laterais e bilaterais O limite bilateral de uma função f ( x ) existe em um ponto a se, e somente se, existirem os limites laterais naquele ponto e tiverem o mesmo valor, isto é: se, e somente se, Relação entre limites laterais e bilaterais O limite bilateral de uma função f ( x ) existe em um ponto a se, e somente se, existirem os limites laterais naquele ponto e tiverem o mesmo valor, isto é: se, e somente se, Prof. Armando Paulo da Silva

12

13 Definição formal de limites Seja f ( x ) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f ( x ) quando x aproxima-se de a é L, e escrevemos: Definição formal de limites Seja f ( x ) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f ( x ) quando x aproxima-se de a é L, e escrevemos: se para todo  > 0, existe um  > 0, tal que sempre que Prof. Armando Paulo da Silva

14 Definição formal de limite Prof. Armando Paulo da Silva

15 Definição de limite Prof. Armando Paulo da Silva

16 Dando a definição formal de uma maneira que não contenha o símbolo de valor absoluto: i) equivale a ii) equivale a Prof. Armando Paulo da Silva

17 Reformulando a definição de limites, teremos: Significa que, existe um tal que x está no intervalo aberto então f(x) está no intervalo aberto Prof. Armando Paulo da Silva

18

19 Usando a definição de limite, prove queUsando a definição de limite, prove que Exemplo 1: Prof. Armando Paulo da Silva

20 Determine um para o dado, tal que Sabendo que Prof. Armando Paulo da Silva

21 Usando a definição de limite, prove queUsando a definição de limite, prove que Exemplo 2: Prof. Armando Paulo da Silva

22 Determine um para o dado, tal que Sabendo que Prof. Armando Paulo da Silva

23 P 1. Sejam a e c números reais quaisquer,P 1. Sejam a e c números reais quaisquer, então, isto é, o limite de uma constante é a própria constante. constante é a própria constante. P 2. Se a, b, m são números reais, entãoP 2. Se a, b, m são números reais, então Exemplo: PROPRIEDADES Prof. Armando Paulo da Silva

24 PROPRIEDADES

25 Exemplo: Determine o seguinte limite: Prof. Armando Paulo da Silva

26

27 Em alguns casos não é possível calcular o valor do limite por simples substituição. Ao adotar tal procedimento nos deparamos com resultados do tipo Limites indeterminados Prof. Armando Paulo da Silva

28 Calcular os limites abaixo: Prof. Armando Paulo da Silva