RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 9 - Energia de Deformação – casos particulares.

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1 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 9 - Energia de Deformação – casos particulares

2 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA  Revisão do conceito de energia de deformação;  Revisão das expressões de energia de deformação nas condições axial, cisalhante e de torção;  Energia de deformação para cargas multiaxiais;  Energia de deformação para a flexão.

3 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Cargas aplicadas a um corpo provocam deformações. Não havendo dissipação de energia na forma de calor, o trabalho externo realizado pelas cargas será convertido em trabalho interno denominado energia de deformação. Essa energia é sempre positiva.

4 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ENERGIAS DE DEFORMAÇÃO JÁ ESTUDADAS Carregamento Axial: Mas dV = A.dx, portanto:

5 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ENERGIAS DE DEFORMAÇÃO JÁ ESTUDADAS Cisalhamento: Viga de seção retangular constante e deformação decorrente do cisalhamento V f S - fator de forma f S = 6/5 (para a condição retangular)

6 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ENERGIAS DE DEFORMAÇÃO JÁ ESTUDADAS Torção: J - momento polar de inércia. Para uma barra de seção constante, J é constante e, portanto:

7 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ESTADO GERAL DE TENSÃO O estudo da aula 8, isto é, a energia de deformação em estados de carregamento axiais e de cisalhamento pode ser ampliado para determinarmos a energia de deformação em um corpo quando ele é submetido a um estado geral de tensão. Observe a figura com o estado multiaxial.

8 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ESTADO GERAL DE TENSÃO zz xx yy  xz  xy  yz

9 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ESTADO GERAL DE TENSÃO As energias de deformação associadas a cada componente das tensões normal e de cisalhamento podem ser obtidas pelas equações mostradas na aula 8 (revisão no início). Como a energia de deformação é escalar, a energia total de deformação no corpo é Estado axial Estado de cisalhamento

10 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ESTADO GERAL DE TENSÃO Lei de Hooke generalizada

11 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ESTADO GERAL DE TENSÃO Substituindo  x,  y,  z,  xy,  xz e  yz na equação da energia de deformação, temos que:

12 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ESTADO GERAL DE TENSÃO Se somente as tensões principais  1,  2 e  3 agirem sobre o elemento, a equação da energia de deformação é reduzida a uma forma mais simples:

13 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1 Um material é submetido a um estado plano de tensão geral. Expressar a densidade de energia de deformação em termos das constante E, G,  e das componentes da tensão  x,  x e  xy

14 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1 xx xx yy yy  xy

15 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1 No caso do estado plano de tensão geral, temos que:  z = 0,  yz = 0 e  xz = 0; Equação geral:

16 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1 Substituindo  z = 0,  yz = 0 e  xz = 0 na equação geral teremos que:

17 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – MOMENTO FLETOR O momento fletor aplicado a um elemento estrutural prismático reto desenvolve nele uma tensão normal. Observe a figura abaixo. dA y M 

18 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – MOMENTO FLETOR A partir da figura anterior, podemos utilizar a expressão: A integral I representa o momento de inércia da viga em torno do eixo neutro. Assim:

19 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2 Considere uma viga em balanço de comprimento L e seção transversal constante. Suponha que esta viga seja submetida a um carregamento uniformemente distribuído w. Considerando o produto E.I constante, determine a energia de deformação elástica provocada pela flexão desta viga.

20 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2

21 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2 Inicialmente devemos analisar o diagrama do corpo livre. M V w.x x

22 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2 A partir do diagrama do corpo livre, podemos escrever que: Substituindo M na expressão:

23 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2

24 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I RESUMINDO Nesta aula vocês estudaram:  Revisão do conceito de energia de deformação;  Revisão das expressões de energia de deformação nas condições axial, cisalhante e de torção;

25 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I RESUMINDO Nesta aula vocês estudaram:  Energia de deformação para cargas multiaxiais;  Energia de deformação para a flexão;  Aplicações.