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PublicouNatália Cavalheiro Lisboa Alterado mais de 7 anos atrás
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Samuel Lourenço Jacob José Viralhadas Hands on Quantum Mechanics Symmetries in Quantum Mechanics
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2 Introdução HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics (i)A Física Moderna é erguida com base em princípios de simetria, requerendo que as equações sejam invariantes sob certas transformações. (ii)As transformações de simetria satisfazem os axiomas matemáticos de um grupo.
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3 Grupo HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics Grupo (G ({g 1, g 2, g 3, …} : i. g a g b = g c : g a, g b, g c G (lei de composição interna) ii. g a g b g c = (g a g b ) g c = g a (g b g c ) (associatividade) iii. 1 g G : 1 g g a = g a 1 g = g a (existência de elemento neutro) iv. g a -1 G : g a -1 g a = g a g a -1 = 1 g (existência de inverso) Grupo Abeliano (comutativo) : v.g a g b = g b g a (comutatividade) Exemplos: SO(2) (comutativo) SO(3) (não-comutativo)
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4 Sub-grupo HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics Sub-grupo H G : i.H ({h 1, h 2, h 3, …} ii.{h 1, h 2, h 2, …} {g 1, g 2, g 3, …} Sub-grupo normal H G : iii. g n h i g n -1 H g n, g n -1 G (condição de teste normal) Exemplos: (translações + rotações)(3-D) grupo (translações)(3-D) sub-grupo
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5 Isomorfismos HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics a b = c a' b’ = c’ G G’
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6 Sistemas Quânticos e Simetrias HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics Definição de Raio Produto Interno Norma
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7 Grupo de Simetrias HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics transforma tal que i)Conservação da Probabilidade ii)Invariância do Hamiltoniano
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8 Teorema de Wigner HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics
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9 Teorema de Wigner HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics isomorfos
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10 Grupos de Simetria Contínuos HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics Elemento geral de um grupo contínuo Unidade (matriz identidade no caso de espaços lineares) Decomposição Grupo Ortogonal (Rotações próprias + impróprias) Grupo Ortogonal Especial (Rotações próprias, matrizes det = 1) Não é um grupo (Rotações impróprias, matrizes det = -1)
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11 Grupos de Simetria Contínuos HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics Exemplo anterior: sub-grupo normal SO(3) do grupo O(3)
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12 Grupos e Álgebras de Lie HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics Álgebra de Lie (anel infinitesimal)
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13 Álgebras de Lie HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics
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14 Grupos e Álgebras de Lie HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics Expandindo o termo entre parêntesis:
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15 Teorema de Noether HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics
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16 Teorema de Noether HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics
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17 Relação entre Simetrias e Espaço de Hilbert HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics Escolhemos todos os operadores que comutam entre si e uma base comum no espaço de Hilbert que é definida por observáveis conservados. Ex: Átomo de H - 3 números quânticos, reflectindo a invariância (simetria) da energia e do momento angular. O Espaço de Hilbert da MQ não é mais do que o espaço de representação de simetrias. Escolhemos todos os operadores que comutam entre si e uma base comum no espaço de Hilbert que é definida por observáveis conservados.
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Fim
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19 Sub-grupo normal HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics
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20 Sub-grupo normal HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics Demonstração (continuação): g n, g n -1 G ; h i, h i -1 H 3. g n H = H g n g n h i H g n h 6 H g n h i = h 6 g n g n h i g n -1 = h 6 g n g n -1 = h 6 g n h i g n -1 H H G * Sub-grupo Abeliano : 4. g n h i g n -1 = h i g n g n -1 = h i g n h i g n -1 H H G (Todos os sub-grupos de um grupo Abeliano são normais)
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