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Definição 1 PRIMEIRAS PROPRIEDADES (III) Para todo a G, existe um elemento a G (inverso de a) tal que a * a = a * a = n; Um grupo (G, *) é um conjunto.

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3 Definição 1 PRIMEIRAS PROPRIEDADES (III) Para todo a G, existe um elemento a G (inverso de a) tal que a * a = a * a = n; Um grupo (G, *) é um conjunto fechado para a operação binária * e que satisfaz os seguintes axiomas: (I) A operação * é associativa; (II) Existe um elemento n G (elemento neutro) tal que n * x = x * n = x, para todo x G; Definição 2 Um grupo G diz-se abeliano se a operação binária * é comutativa. N I C (abeliano) A F GRUPO *

4 1 - A estrutura (Z +, +) não é um grupo pois não existe elemento neutro. EXEMPLOS 2 - A estrutura (N, +) não é um grupo pois não existe inverso. 3 - As estruturas (R, +), (Z, +), (Q, +) e (C, +) são grupos. 4 - O conjunto das funções reais de variável real com a adição de funções é um grupo. Este grupo é abeliano. 5 - O conjunto das matrizes de tipo m X n, m, n N, com onde cada a ij R é um grupo abeliano para a adição de matrizes. O elemento neutro é a matriz onde todo a ij = 0 e a inversa aditiva de A é (-A). 6 - O conjunto de todas as matrizes de tipo n X n com a operação multiplicação de matrizes não é um grupo, pois somente as matrizes com determinante não nulo têm inverso. 7 - O subconjunto das matrizes n X n inversíveis (determinante não nulo) com a operação multiplicação de matrizes é um grupo. Este grupo não é abeliano.

5 P1 – Em um grupo (G, *), o elemento neutro é único e cada elemento possui um único inverso. PROPRIEDADES P2 - Em um grupo (G, *) é válida a lei do corte (cancelamento). P3 - Sendo a e b elementos de (G, *), as equações a * x = b e y * a = b têm, cada uma delas, uma única solução em G. Estas propriedades foram demonstradas para os grupóides. 2 - No monóide multiplicativo (Z 12, X) não é válida a lei do cancelamento. 1 - Em (Z, +) é válida a lei do cancelamento. EXEMPLOS 3 + b = b = 5 A equação 3. x = 6 tem 3 soluções em Z 12 : 3 x 2 = 3 x 6 = 6, mas , 6 e 10. A equação 3. x = 2 não tem solução em Z 12.

6 3 – Na adição de matrizes é verificada a lei do cancelamento. 4 – A lei do cancelamento não é válida para o produto de matrizes. A x B = C x B A C. A lei será válida quando B for inversível x= x 12 A x B = C x B A x (B x B -1 ) = C x (B x B -1 ) A x I = C x I A = C. 5 – Na multiplicação de reais por zero, não é válida a lei do cancelamento. 4 x 0 = 6 x 0, mas 4 6. São diferentes

7 GRUPOS FINITOS E TABELAS DE ENTRADAS Definição 1 - Chama-se ordem de G ao número de elementos de G. Escreve-se |G| ou O(G) ou ainda card(G). Definição 2 - Um grupo G diz-se finito se tiver um número finito de elementos. Se G for um grupo infinito escreve-se |G| =. Um grupo finito, (G, *) onde G = {x 1, x 2,..., x n } pode ser representado por uma tabela n X n com duas entradas onde cada elemento (ou entrada) (i, j) é x i * x j. x 1 x 2 x x n x 1 x 2 x 3... x n x 3 *x n * x 2 * x 3 Linha de topo

8 PROPRIEDADES DA TABELA (1)Deverá existir um elemento desse conjunto, denotado por n, que desempenhará o papel da identidade (ou neutro) do grupo. (2) A condição n * x = x exige que na linha correspondente ao elemento n, os elementos do conjunto aparecem na mesma ordem em que se encontram na linha de topo. (3) A condição x * n = x significa que na coluna correspondente ao elemento n, os elementos do conjunto aparecem na mesma ordem em que se encontram na coluna esquerda. n a b c nabcnabc nabcnabc * (4) O elemento a tem inverso c à direita quando na célula correspondente ao cruzamento da linha de a com a coluna de seu inverso c aparece o elemento neutro n. (a*c = n) n (5) O elemento a tem inverso c à esquerda quando na célula correspondente ao cruzamento da coluna de a com a linha de seu inverso c aparece o elemento neutro n. (c * a = n) n

9 (6) As equações a * x = n e y * a = n devem ter solução única. Deste modo, em cada linha e em cada coluna, cada elemento do conjunto deve aparecer apenas uma vez. (7) O grupo é comutativo se a tabela for simétrica em relação à diagonal principal, ao considerar a tabela como uma matriz. (8) Não há como verificar a associatividade a partir de visualização da tabela. A associatividade deve ser comprovada caso a caso. RESPONDA 1 – Existe elemento? Se afirmativo, qual é ele? Justificar. 2 - é comutativa? Justificar. 3 – Todos os elementos têm inverso? Justificar. 4 – Qual é o inverso do elemento ? 5 – Resolva a equação: x =

10 ALGUNS GRUPOS FINITOS 1 – Classes residuais módulo k: Z k {0, 1, 2,... k – 1} (a) (Z k, +) é um grupo. (b) (Z k, x) não é um grupo. (c) (Z k – {0}, x) é um grupo se k for primo. Z – conjunto dos nº inteiros. x - multiplicação 2 - Permutações dos elementos do conjunto A. (P(A), ) é um grupo. 3 – Conjuntos R (n) das raízes complexas da equação x n – 1 = 0. As raízes ´n de 1 são obtidas pela expressão cos + i.sen 360ºk + 90º n 360ºk + 90º n fazendo k = 0, 1, 2,..., n – 1. (R(n), x) é um grupo. Todos os grupos acima são abelianos.


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