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GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop.

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1 GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop. distributiva GRUPO GRUPO COMUTATIVO ANEL ANEL COMUTATIVO SUBGRUPO CORPO Estruturas Algébricas 1

2 2 Lei de Composição Interna Nota: Lei de composição interna ou operação binária

3 3 Grupóide Exemplos: ( even, +) é grupóide ( odd,+) não é grupóide

4 4 Subgrupóide

5 5 Propriedades Associativa e Comutativa Num conjunto E diz-se que:

6 6 Semigrupo e Semigrupo Comutativo Nota: comutativo ou Abeliano

7 7 Elemento Neutro Teorema : zero = el. neutro da adição exs: (, +), ( even, +), (,+) unidade = el. neutro da multiplicação exs: (, ·), (, ·)

8 8 Elementos Opostos simétricos = els. opostos da adição inversos = els. opostos da multiplicação semigrupo (, ·) - apenas os elementos 1 e –1 têm inverso (oposto) semigrupo (, ·) - todos os elementos têm inverso excepto o zero. exemplos Teoremas

9 9 Elementos Opostos (Teoremas)

10 10 Grupo e Grupo Comutativo Nota: comutativo ou Abeliano (, ·) não é grupo porque o elemento 0 não tem oposto (e não é o el. neutro!) exemplo Propriedades

11 11 Grupos (Propriedades) ( \ {0}, ·) a·x = b x·a = b x = b/a coincidentes porque o grupo é comutativo Exemplo Nota: Esta propriedade estabeleçe a existência de duas operações inversas de que serão coincidentes se o grupo for comutativo.

12 12 Subgrupo

13 13 Propriedade Distributiva

14 14 Anel e Anel Comutativo Exemplos de Anéis Comutativos: (, +, ·) (, +) é grupo comutativo, (, ·) é semigrupo e · é distributiva em relação a + (, +, ·), (, +, ·), (, +, ·) têm el. unidade (el. neutro da 2ª operação) ( even, +, ·) não têm el. unidade Propriedades

15 15 Anel (Propriedades)

16 16 Conceito de Corpo Propriedades elemento neutro da 2ª operação elementos opostos da 2ª operação elemento neutro da 1ª operação Exemplos: (, +, ·) e (, +, ·) são corpos (, +, ·) é subcorpo de (, +, ·) (, +, ·) (, +, ·)

17 17 Corpo (Propriedades)

18 Apresentação sobre Estruturas Algébricas Referências [1] M. Neves, M. Vieira, A. Alves, Matemática - 12º ano, 5ª ed., Porto Editora, [2] C. Ribeiro, Sebenta de Álgebra Linear e Geometria Analítica, AEISEL, [3] S. Wicker, Error Control Systems for Digital Communication and Storage, Prentice Hall, Isabel Milho, ISEL-DEETC, Out.2001


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