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Estruturas Algébricas
GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop. distributiva GRUPO GRUPO COMUTATIVO ANEL ANEL COMUTATIVO SUBGRUPO CORPO 1
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Lei de Composição Interna
Nota: Lei de composição interna ou operação binária
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Grupóide Exemplos: (even , +) é grupóide (odd ,+) não é grupóide
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Subgrupóide
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Propriedades Associativa e Comutativa
Num conjunto E diz-se que:
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Semigrupo e Semigrupo Comutativo
Nota: comutativo ou Abeliano
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Elemento Neutro Teorema:
zero = el. neutro da adição exs: (, +), (even , +), (,+) unidade = el. neutro da multiplicação exs: (, ·), (, ·)
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Elementos Opostos simétricos = els. opostos da adição
inversos = els. opostos da multiplicação exemplos semigrupo (, ·) - apenas os elementos 1 e –1 têm inverso (oposto) semigrupo (, ·) - todos os elementos têm inverso excepto o zero. Teoremas
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Elementos Opostos (Teoremas)
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Grupo e Grupo Comutativo
exemplo (, ·) não é grupo porque o elemento 0 não tem oposto (e não é o el. neutro!) Propriedades Nota: comutativo ou Abeliano
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Grupos (Propriedades)
Exemplo ( \{0}, ·) a·x = b x·a = b x = b/a x = b/a coincidentes porque o grupo é comutativo Nota: Esta propriedade estabeleçe a existência de duas operações inversas de que serão coincidentes se o grupo for comutativo.
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Subgrupo
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Propriedade Distributiva
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Anel e Anel Comutativo Exemplos de Anéis Comutativos:
(, +, ·) (, +) é grupo comutativo, (, ·) é semigrupo e · é distributiva em relação a + (, +, ·), (, +, ·), (, +, ·) têm el. unidade (el. neutro da 2ª operação) (even , +, ·) não têm el. unidade Propriedades
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Anel (Propriedades)
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Conceito de Corpo Exemplos: (, +, ·) e (, +, ·) são corpos
elemento neutro da 2ª operação elementos opostos da 2ª operação elemento neutro da 1ª operação Exemplos: (, +, ·) e (, +, ·) são corpos (, +, ·) é subcorpo de (, +, ·) (, +, ·) (, +, ·) Propriedades
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Corpo (Propriedades)
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Isabel Milho, ISEL-DEETC, Out.2001
Apresentação sobre Estruturas Algébricas Referências [1] M. Neves, M. Vieira, A. Alves, Matemática - 12º ano, 5ª ed., Porto Editora, 1991. [2] C. Ribeiro, Sebenta de Álgebra Linear e Geometria Analítica, AEISEL, 1985. [3] S. Wicker, Error Control Systems for Digital Communication and Storage, Prentice Hall, 1995.
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