JUROS COMPOSTOS Séries Uniformes

Apresentação em tema: "JUROS COMPOSTOS Séries Uniformes"— Transcrição da apresentação:

1 JUROS COMPOSTOS Séries Uniformes
Aplicações das Séries Uniformes

2 O Sonho é ver as formas invisíveis da distância imprecisa,
e, com sensíveis movimentos da Esperança e da Vontade, buscar na linha fria do horizonte, a árvore, a praia, a flor, a ave, a fonte, os beijos merecidos da verdade. Fernando Pessoa

3 O que veremos hoje Coeficiente de Financiamento Série Gradiente
Perpetuidade Inflação e Taxa Real

4 Coeficiente de Financiamento
O coeficiente de financiamento é um fator financeiro que multiplicando o valor presente de um financiamento apura as prestações. Assim, Coef.Financ.X Financiamento = Prestações Ou Logo o C.F. é o inverso do VP x a-1 n i = PGTO. APLICAÇÕES: - CDC – Crédito Direto ao Consumidor - Leasing ou Arrendamento Mercantil

5 Coeficiente de Financiamento
VP x a-1 n i = PGTO. 1 Na HP – 12C f FIN f 6 1 CHS PV N n Taxa i PMT EXEMPLO – Construir o coeficiente financeiro de um contrato de financiamento envolvendo 15 prestações mensais, iguais e sucessivas, a uma taxa de juros de 3,5% a.m. Solução Na HP-12C f FIN f 6 1 CHS PV n 3,5 i PMT Na verdade o que calculamos foi: Isto dá o a-1 n i

6 Outro Exemplo Admita que uma instituição financeira divulgue que seu coeficiente para financiamentos a serem liquidados em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas atinge 0, (geralmente seis casas). Qual o valor das prestações de um financiamento de $ ? Qual a taxa de juros?

7 Solução a. VP x a-1n i = PGTO. 16.000 x 0,189346 = 3.029,54
b. Para encontrarmos a taxa de juros, recorremos a HP-12C: 16000 CHS PV 3029,54 PMT N i Isto resulta em %

8 Mais um exemplo Uma empresa está avaliando o custo de determinado financiamento. Para tanto, identificou as seguintes condições em dois bancos. Coeficiente = 0,119153 Pagamento = 10 prestações mensais, iguais e sucessivas Coeficiente = 0,307932 Pagamento = 4 prestações trimestrais, iguais e sucessivas. Determinar a proposta que apresenta o menor custo mensal. Solução com vocês!!!

9 Um agora da página 46 Uma financeira publica que seus coeficientes para financiamento de carros, em 24 meses, são: Carros 0 - km Carros Novos 0, ,06815 Qual é a taxa de juros de cada coeficiente? Resp : Carros - Novos 3,89% a.m. e Carros - Usados 4,39% a.m.

10 Economizando para APOSENTADORIA
Um executivo, prevendo sua aposentadoria, resolve efetuar, durante 4 anos, depósitos mensais iguais à taxa de 2,5% a.m.. Este pecúlio deverá permitir 5 retiradas anuais de R$ ,00, ocorrendo a primeira 2 anos após o último depósito. De quanto devem ser os depósitos mensais? Resp: R$ 9.167,56 Observação:- Neste problema temos misturadas taxas anuais e mensais. Cuidado com isso!!

11 Solução PGTO # 2 – Determinar o valor presente das 5 retiradas anuais PV = a5 34,49 Na HP -12 C F FIN f 2 CHS PMT 5 n 34,49 i PV # 1- Determinar a taxa efetiva anual (1+iaa)=(1+iam)12 Na HP-12C, temos: f FIN f6 1 CHS PV 2,5 i 12 n FV 1 – 100 x 34,49% a.a.

12 Solução ,20 PGTO ,24 # 3 Transferir este valor presente para o período 48, isto é, voltar 1 ano. PV = FV (1+i)-1 Na HP – 12C, temos F FIN f2 ,24 CHS FV N 34,49 i PV ,20 # 4 Calcular os PGTO que acumulem este valor ,20 FV = PMT s48  2,5 Na HP-12C F FIN f 2 ,20 CHS FV N 2,5 i PMT ,30

13 Um Problema Real Um banco e uma empresa firmaram um contrato de empréstimo para capital de giro no valor de R$ ,00, para ser liquidado em seis prestações mensais. A operação foi contratada a uma taxa de juro de 1% a.m. (equivalente a 12,68% a.a.), mais um flat (comissão antecipada) de 3,6% além do IOF de 0,0083% ao dia e da correção calculada com base na TR. Admitindo-se que a TR do dia da contratação fosse 2,84%, calcular: O valor das prestações mensais; Resp: R$ ,82 O valor corrigido da “primeira” prestação; Resp: R$ ,09 O valor líquido creditado na conta da empresa; Resp: R$ ,25 A taxa efetiva anual da operação tomando-se como base o valor líquido recebido pela empresa beneficiária do crédito Resp: 32,08% a.a. A solução será enviada por e-1/2

14 SÉRIE GRADIENTE

15 SÉRIE GRADIENTE Existem fórmulas que não iremos tratá-las aqui. Vamos resolver tudo na HP – 12C. f FIN f2 0 g CF0 Valor g CFj e daí, após introduzir todos os valores, temos duas opções: Calcular o valor presente líquido (VPL) apertando f NPV Calcular a taxa interna de retorno (TIR) apertando f IRR

16 EXEMPLO 2 00

17 EXERCÍCIOS Quanto devemos aplicar hoje, a uma taxa de juros efetiva de 6% a.m., de modo que sejam possibilitados cinco saques consecutivos? O primeiro saque deverá ser de $ daqui a dois anos e os outros gradativamente crescentes, formando uma série gradiente uniforme igual a $ , $ , $ , $ e $ Resp: $ ,23 Uma máquina permite uma economia de custos de $ no 1º ano e gradativamente crescente até o 5º ano de sua vida útil. Considerando uma taxa de juros efetiva de 12% a.a., calcular o valor atual dessa economia de custos. Resp: $ ,00

18 Outro Exercício Calcular a taxa de juros efetiva cobrada em um financiamento de $ 692,78 que será pago em cinco prestações mensais segundo o esquema a seguir. $ 50 $ 100 $ 150 $ 200 $ 250

19 PERPETUIDADE

20 EXERCÍCIO 1 Ao participar de um Programa de Demissão Voluntária (PDV), um trabalhador recebeu da empresa $ De modo que percebesse uma renda quinzenal indefinidamente, aplicou a importância em uma instituição financeira a juros efetivos de 1,5% a.m.. Considerando que a taxa de juros não variará, calcular o valor da renda quinzenal perpétua postecipada.

21 EXERCÍCIO 2 O pedágio de uma rodovia estadual arrecada em média $ /mês. Calcular o valor presente dessas rendas considerando um custo de capital de 2% a.m.

22 EXERCÍCIO 3 Uma universidade receberá uma doação à perpetuidade. O primeiro importe de $ será aplicado na compra de livros e os seguintes de $ , a serem entregues no início de cada ano, serão usados na manutenção. A juros efetivos de 10% a.a., calcular o valor presente da doação.

23 EXERCÍCIO 4 Uma jazida de ouro com reservas para exploração por mais de cem anos produz lucros médios de $ /ano. Calcular o valor da mina, considerando que nos próximos dois anos a mina não operará por motivos de renovação de equipamentos. O custo de oportunidade do capital é de 15% a.a..

24 EXERCÍCIO 5 Uma sociedade de beneficiência pública ganhou de um mecenas uma doação de $ /ano em forma indefinida, recebidos no início de cada ano depois de transcorridos dois anos contados a partir da data da doação. A juros de 15% a.a., calcular o valor presente dessa doação.

25 EXERCÍCIO 6 Uma ação promete pagar um dividendo de $ 3,50 por ação ao ano. Estimando-se que os dividendos cresçam a uma taxa constante de 5% a.a., calcular o valor da ação se o custo de oportunidade do capital for de 14% a.a.. Considere os dividendos como uma perpetuidade.

26 EXERCÍCIO 7 Um canal de irrigação teve um custo inicial de $ O engenheiro hidráulico projetista da obra estima que, para estar permanentemente em condições operacionais, a cada três anos deve ser realizada uma reforma do canal a um custo aproximado de $ Pede-se: calcular a quantia que deve ser aplicada hoje a juros de 15% a.a., de modo que assegure a reforma perpétua do canal. Determinar o custo capitalizado do canal admitindo-se um custo do capital de 15% a.a.

27 Para Casa Um canal de irrigação tem um custo de construção de $ Para mantê-lo em condições operacionais deve ser efetuada uma reforma integral ao custo de $ a cada 5 anos indefinidamente. Calcular seu custo capitalizado a uma taxa efetiva de 8% a.a. Resp: $ ,65 Uma ponte tem um custo de construção de $ e sua vida útil é de 10 anos. Depois desse tempo deve ser reformada a cada 10 anos indefinidamente a um custo de $ Calcular seu custo capitalizado a uma taxa efetiva de 1% a.m. Resp: $ ,64 A prefeitura de uma cidade recebeu 2 propostas para construir uma passarela para pedestres. A primeira propõe construí-la de madeira ao custo de $ com um custo de manutenção de $ a cada 3 anos indefinidamente. A segunda propõe construí-la de aço ao custo de $ com custo de manutenção de $ a cada 6 anos. Considerando-se um custo do capital de 6% a.a., selecionar a melhor proposta. Resp: Custo capitalizado (madeira) = $ ,65; Custo capitalizado (aço) = $ ,26  selecionar de madeira Vamos mandar por e-1/2

28 INFLAÇÃO O processo inflacionário de uma economia pode ser entendido pela elevação generalizada dos preços dos vários bens e serviços. Em sentido contrário, diante de uma baixa predominante dos preços de mercado dos bens e serviços, tem-se o fenômeno definido por deflação. Tradicionalmente, o desenvolvimento da economia brasileira tem-se caracterizado pela presença marcante da inflação, apresentando taxas, na maior parte do tempo, em níveis relevantes. É importante acrescentar, ainda, que mesmo diante de cenários econômicos de reduzida taxa de inflação, o conhecimento do juro real permanece bastante importante para a Matemática Financeira. Nestas condições, mesmo pequenas oscilações nos índices de preços produzem impacto relevante sobre as taxas de juros ao longo do tempo, alterando a competitividade dos ativos negociados no mercado. Em contextos inflacionários, deve-se ficar atento para a denominada ilusão monetária ou rendimento aparente das aplicações e investimentos

29 Índices de Preços Um índice de preços procura medir a mudança que ocorre nos níveis de preços de um período para outro. No Brasil, a maioria dos cálculos de índices de preços está a cargo da Fundação Getúlio Vargas (FGV) do Rio de Janeiro, que publica mensalmente na revista Conjuntura Econômica os índices nacionais e regionais. Outras instituições que elaboram índices de preços são: o IBGE, a Fipe e o Dieese em São Paulo, a Fundare em Recife e o Ipead-UFMG em Belo Horizonte. O índice mais geral disponível é o Índice Geral de Preços – disponibilidade interna da FGV (IGP-di). Ele é indicado para inflacionar ou deflacionar valores monetários, cujas causas foram devidas a muitos fatores, pois esse índice mede a inflação do País.

30 Representatividade dos valores financeiros em ambientes inflacionários
O processo inflacionário obriga a quem faz cálculos financeiros, ou toma decisões de investimento ou financiamento, a prestar atenção especial ao significado econômico dos lucros e contas nominais apresentadas pelas empresas, ao impacto da inflação na avaliação dos investimentos e, sobretudo, a como o processo decisório é afetado. Como resultado da inflação, o significado das medidas contábeis e econômicas de rentabilidade (lucros e custos) diverge e essa divergência é maior à medida que a inflação se acelera.

31 EXEMPLO No último trimestre do ano, o salário nominal de um operário, recebido no último dia de cada mês, foi o seguinte: outubro = $ ; novembro = $ ; dezembro = $ Calcular a taxa de crescimento real do salário considerando que o índice de preços escolhido teve as seguintes variações: novembro = 19%, dezembro = 22%.

32 Solução Para deflacionar (colocar os salários em moeda de outubro), usamos um deflator que assume o valor 1,0000 em outubro. Em novembro seu valor será de 1,0000 x 1,19 = 1,1900 e em dezembro, de 1,1900 x 1,22 = 1,4518. Mês Salário em valores nominais (1) Variação do índice (2) Deflator (base Out.) (3) Salário deflacionado (preços de Out.) (1) / (3) Crescimento real (% a.m.) Crescimento aparente (% a.m.) Out. $ 1,0000 Nov. $ 19% 1,1900 $ ,64 Dez. $ 22% 1,4518 $ ,53

33 Solução Com os salários dos três meses colocados em moeda do mês de outubro (moeda constante de outubro), podemos, agora, calcular o crescimento real no mês de novembro: O crescimento real em dezembro será: Mês Salário em valores nominais (1) Variação do índice (2) Deflator (base Out) (3) Salário deflacionado (preços de Out.) (1) / (3) Crescimento real (% a.m.) Crescimento aparente (% a.m.) Out. $ 1,0000 Nov. $ 19% 1,1900 $ ,64 -3,36% Dez. $ 22% 1,4518 $ ,53 -1,64%

34 Solução Em novembro houve em termos reais uma perda de -3,36% em relação ao mês de outubro e, em dezembro, houve uma perda real de -1,64% em relação ao mês anterior. No período considerado, a perda real total foi de -4,95% na capacidade geral de compra do salário: Mês Salário em valores nominais (1) Variação do índice (2) Deflator (base Out.) (3) Salário deflacionado (preços de Out.) (1) / (3) Crescimento real (% a.m.) Crescimento aparente (% a.m.) Out. $ 1,0000 Nov. $ 19% 1,1900 $ ,64 -3,36% 15% Dez. $ 22% 1,4518 $ ,53 -1,64% 20%

35 Solução Por outro lado, o crescimento nominal ou aparente mostra taxas positivas de 15% e 20% para os meses de novembro e dezembro, respectivamente. Este exemplo ilustra a importância de estimar o crescimento real dos fluxos e valores financeiros.

36 Taxas de Juros Aparente x Nominais
A taxa aparente (chamada nominal nas transações financeiras e comerciais) é aquela que vigora nas operações correntes. A taxa real é o rendimento ou custo de uma operação, seja de aplicação ou captação, calculado depois de serem expurgados os efeitos inflacionários. A taxa aparente embute uma expectativa inflacionária. As taxas aparente e real relacionam-se da seguinte forma:. (1+iaparente) = (1+ireal)(1+iinflação)

37 EXEMPLOS Calcular o custo real de um empréstimo contratado a uma taxa efetiva de 20%, considerando uma inflação para o mesmo período de 15% para o período

38 Exercícios Calcular o custo efetivo anual em moeda nacional de um empréstimo em moeda estrangeira contratado a juros nominais de 8% a.a., com capitalização mensal, considerando uma desvalorização da moeda nacional de 2% a.m..

39 Exercícios Uma aplicação de $ 100 teve um rendimento aparente de $35. Considerando uma inflação durante o período de investimento de 30%, calcular a rentabilidade aparente e real da operação.

40 Exercícios Uma pessoa comprou no início de um determinado ano um terreno por $ , vendendo-o no fim do mesmo ano por $ Considerando uma inflação anual de 40%, estimar o ganho real da operação.

41 Exercícios Um capital de $ aplicado por dois anos rende juros de 5% a.a. mais atualização monetária calculada com base nas variações do IGP-di. Considerando uma variação do IGP-di de 40% e 50% para o primeiro e segundo anos, respectivamente, calcular a rentabilidade real da operação e o montante ao fim do 2º ano.