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1 ESTATÍSTICA. 2 UDIII - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Ass 02: INTERVALOS de CONFIANÇA ( 2 a Parte ) ESTATÍSTICA.

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1 1 ESTATÍSTICA

2 2 UDIII - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Ass 02: INTERVALOS de CONFIANÇA ( 2 a Parte ) ESTATÍSTICA

3 3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Determinar intervalo de 95% de confiança para a diferença entre 2 médias ( ) ; Determinar intervalo de 95% de confiança para uma proporção; Determinar intervalos de 95% de confiança unilaterais ;

4 4 SUMÁRIO 1- Diferença entre duas médias ( ) 2- Proporções 3- Intervalos de Confiança Unilaterais

5 5 1 - Diferença entre duas médias ( ) Comumente comparam-se duas médias populacionais através de sua diferença: Uma estimativa razoável para tal diferença é a diferença correspondente entre as médias amostrais: Nosso interesse é construir uma estimativa intervalar em torno daquele valor. ( )

6 6 a ) Variâncias Populacionais Conhecidas 1 - Diferença entre duas médias ( ) Pode-se demonstrar que: Portanto,

7 7 Intervalo de 95% de confiança para a diferença entre médias, em amostras independentes: Quando se sabe que 1 e 2 têm um valor comum, conhecido,, o intervalo de 95% de confiança se reduz a:

8 8 1 - Diferença entre duas médias ( ) b ) Variâncias Populacionais Desconhecidas Intervalo de 95% de confiança para amostras independentes, quando as variâncias populacionais são iguais e desconhecidas: s p é uma estimativa de. É a variância combinada ( pooled )

9 9 X 1 ( ou X 2 ) representa a observação típica na primeira ( ou segunda ) amostra. Graus de liberdade para t: g.l.= ( n ) + ( n )

10 10 Exemplo: De uma grande turma extraiu-se uma amostra de quatro notas: 64,66,89 e 77. Uma amostra independente de três notas de uma segunda turma foi: 56,71 e 53. Se é razoável admitir que as variâncias das duas turmas sejam aproximadamente iguais, calcule um intervalo de 95% de confiança para a diferença entre as médias das duas turmas. Observação: A menos que haja evidência em contrário, é costume, com pequenas amostras, supor que as variâncias populacionais seja iguais.

11 11 Turma 1 Análise de 2 Amostras Independentes Turma 2 X 1 obs X 2 obs

12 12 Assim temos:

13 Diferença entre duas médias ( ) c ) Amostras Emparelhadas Consideremos apenas uma turma de alunos examinada em duas épocas distintas, digamos, os períodos de outono e primavera. Vamos supor que queiramos utilizar os mesmos indivíduos em ambas as amostras. O primeiro passo natural é ver como a situação de cada estudante se modificou calculado a diferença D=X 1 -X 2 X 1 - notas na primavera;X 2 - notas no outono

14 14 Trataremos de agora em diante as diferenças D como uma única amostra. Em primeiro lugar, calcula-se a diferença média amostral. Em seguida, utiliza-se essa diferença amostral para construir um intervalo de confiança para a diferença média populacional. Intervalo de 95% de confiança para amostras emparelhadas

15 15 Análise de 2 Amostras Emparelhadas Estu- dante Diferença X1X1 (prima- vera) ABCDABCD X2X2 (outono) Notas Observadas D=X 1 -X

16 16 Assim, temos:

17 Diferença entre duas médias ( ) d ) Por que Amostras Emparelhadas? - O erro amostral no caso de dados emparelhados é muito menor do que no caso de dados independentes. - Razão: o emparelhamento mantém constante muitas das variáveis estranhas. Utilizando os mesmos 4 estudantes, mantemos o sexo, o QI e muitos outros fatores exatamente os mesmos em ambas as amostras. Há, pois, um melhor nivelamento do problema.

18 18 SUMÁRIO 1- Diferença entre duas médias ( ) 2- Proporções 3- Intervalos de Confiança Unilaterais

19 Proporções Ao lidar com uma variável categorizada em que cada indivíduo ou item da população pode ser classificado como possuidor ou não-possuidor de determinada característica, aos dois resultados possíveis poderiam ser atribuídas pontuações de 1 ou 0 para representar a presença ou a ausência da característica, respectivamente.

20 20 Exemplo: Nas eleições presidenciais nos EUA, a população de votantes pode ser encarada como uma urna de fichas marcadas 0 ou 1. Quantos votos você dará ao candidato republicano? Tratando-se de uma eleição honesta, o eleitor só poderá responder 0 ou 1. Chamaremos de a proporção populacional de republicanos.

21 21 Média e Variância Populacionais de uma Variável 0 -1 Xp(X) 0101 (1- ) X p(X) 0 ( ) X (X- ) 2 2 (1- ) 2 (X- ) 2 p(X) 2 (1- ) (1- ) 2 (1- ) ( 2 ) 1- -

22 Proporções a) Fórmula para Grandes Amostras Uma proporção amostral P nada mais é do que uma média disfarçada de uma população Por exemplo, se observarmos 7 republicanos em uma amostra de 10 eleitores, a proporção amostral de republicanos é:

23 23 Da mesma forma, a proporção populacional nada mais é que a média disfarçada de uma população Estimativa Intervalar de 95% de Confiança para uma Proporção

24 24 Intervalo de 95% de Confiança para a Proporção ( para n grande ) Para se ter uma boa aproximação, o tamanho amostral n deve ser suficientemente grande de tal sorte que n e n(1- ) sejam, cada um deles, pelo menos iguais a 5.

25 25 b) Método Gráfico (ÁBACO), Grandes ou Pequenas Amostras P=0,8 n=20 0,56< <0,96

26 26 c) Diferença entre Duas Proporções, Grandes Amostras 2 - Proporções Intervalo de 95% de Confiança para a Diferença entre Populações, para n 1 e n 2, grandes e amostras independentes:

27 27 Exemplo: Em uma amostra aleatória de pneus fabricados por certa companhia, 20% não satisfazem os padrões da mesma. Construa um IC 95 para a proporção ( em toda a população de pneus ) dos que não satisfazem os padrões: i) se o tamanho da amostra é n=10 ii) se n=25; iii) se n=2500.

28 28 Ábaco Solução: i) n=10; nP=10 x 0,2 = 2; n(1-P)=10 x 0,8=8 P = 0,2; (1-P ) = 0,8 0,01 < < 0,57 ii) n=25; nP=25 x 0,2 = 5; n(1-P)=25 x 0,8=20 Ábaco 0,06 < < 0,41 iii) n=2500; nP=2500 x 0,2 = 500; n(1-P)=2500 x 0,8=2000 =0,20 0,0157

29 29 SUMÁRIO 1- Diferença entre duas médias ( ) 2- Proporções 3- Intervalos de Confiança Unilaterais

30 Intervalos de Confiança Unilaterais a ) O caso Mais Simples Há ocasiões em que, para estabelecer uma premissa, devemos fazer uma afirmação de que certo valor populacional é no mínimo tão grande quanto determinado valor. A técnica adequada é então um intervalo de confiança unilateral, com tolerância de erro de 5% toda localizada em uma cauda:

31 31 Intervalo de 95% de Confiança ( Unilateral )

32 32 Exemplo: Escolheram-se aleatoriamente 16 notas de uma turma muito grande com desvio padrão de 12. Se a média amostral é 58, construa um intervalo de confiança unilateral adequado para mostrar quão boa é a média de toda a turma. Solução

33 33 Pode-se, pois, concluir, com 95% de confiança, que a média da turma é no mínimo 53. Observação: O intervalo de confiança abrange não só todos os valores acima da média amostral = 58, como também um conjunto de valores abaixo dela suficiente para garantir 95% de confiança na correção do resultado.

34 34 Embora o intervalo de confiança unilateral dê melhor cota inferior que o intervalo bilateral, devemos pagar um preço bastante elevado: o intervalo de confiança unilateral não tem absolutamente qualquer cota superior.

35 35 b ) Outros Casos Qualquer intervalo de confiança bilateral pode ser ajustado analogamente de modo a gerar um intervalo de confiança unilateral. Por exemplo, quando é desconhecido e deve ser substituído por s, temos:

36 36 Analogamente para duas amostras:

37 37 Naturalmente, se desejamos testar se um valor populacional é inferior a uma certa cifra, o intervalo de confiança unilateral terá a forma:

38 38 PRATIQUE COM OS EXERCÍCIOS. BOA SORTE!


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