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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Equações.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Equações Diferenciais e Aplicações na Engenharia: Vibrações de Vigas, Barras e Cabos Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul – FAPERGS 2007

2 Um resultado obtido no projeto: Equações Diferenciais e Engenharia de Segurança no Trabalho – Algumas Aplicações Básicas Fapergs – Processo:

3 Dados de Identificação Aluno Bolsista: Fábio Henrique de SouzaAluno Bolsista: Fábio Henrique de Souza Curso: Engenharia MecânicaCurso: Engenharia Mecânica Professor Orientador: Elisabeta D Elia GallicchioProfessor Orientador: Elisabeta D Elia Gallicchio Período de Vigência: outubro de 2006 a julho de 2007Período de Vigência: outubro de 2006 a julho de 2007 Instituição: Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituição: Universidade Federal do Rio Grande do Sul Unidade: Instituto de MatemáticaUnidade: Instituto de Matemática Órgão: Departamento de Matemática Pura e AplicadaÓrgão: Departamento de Matemática Pura e Aplicada

4 Objetivos Resolver problemas pertinentes à construção civil.Resolver problemas pertinentes à construção civil. Estudar as equações utilizadas na modelagem dos problemas e os métodos adequados a sua resolução.Estudar as equações utilizadas na modelagem dos problemas e os métodos adequados a sua resolução. Em cada caso, resolver o sistema e simular a resposta através de animação com o software Maple.Em cada caso, resolver o sistema e simular a resposta através de animação com o software Maple.

5 Problemas Resolvidos Deflexão de vigasDeflexão de vigas Vibração de vigasVibração de vigas Vibração de barrasVibração de barras Vibração de cabosVibração de cabos Vibração de uma membrana circularVibração de uma membrana circular

6 Deformação elástica das vigasDeformação elástica das vigas Deflexão vertical: Modelagem: equação diferencial ordinária de quarta ordemModelagem: equação diferencial ordinária de quarta ordem Deflexão de Vigas

7 A partir da relação entre o momento fletor e a carga por unidade de comprimentoA partir da relação entre o momento fletor e a carga por unidade de comprimento Chega-se a EDO que modela a deflexão da vigaChega-se a EDO que modela a deflexão da viga Para um caso particular em que L=10m, E=8x10 N/m² e I z =3x10 mPara um caso particular em que L=10m, E=8x10 N/m² e I z =3x10 m Deflexão de Vigas – Viga Engastada-apoiada

8 Com a carga representada pela Delta de DiracCom a carga representada pela Delta de Dirac E as condições de contornoE as condições de contorno A resposta do sistema com o método da Transformada de Laplace éA resposta do sistema com o método da Transformada de Laplace é Deflexão de Vigas – Viga Engastada-apoiada

9 Simulação da deflexão:Simulação da deflexão: Flecha:Flecha: Deflexão de Vigas – Viga Engastada-apoiada

10 Vibração transversal de vigas Modelagem: equação de Euler-BernoulliModelagem: equação de Euler-Bernoulli Vibração de Vigas

11 Equação de Euler-Bernoulli Condições de contorno Condições iniciais Vibração de uma Viga Bi-apoiada

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13 Simulação Vibração de uma Viga Bi-apoiada

14 Vibração de Barras Vibração longitudinal: Modelagem - através da equação da onda unidimensionalModelagem - através da equação da onda unidimensional

15 Vibração de Barras – Barra em BalançoModelagem: Equação diferencialEquação diferencial Condições de contorno Condições iniciais Condições de contorno Condições iniciais

16 Vibração de Barras – Barra em Balanço Resposta do sistemaResposta do sistema Barra com posição inicial u(x,0)=f(x)=0.01m, L=10m, E=21*10 N/m² e ρ =7*10³ kg/m³Barra com posição inicial u(x,0)=f(x)=0.01m, L=10m, E=21*10 N/m² e ρ =7*10³ kg/m³

17 Vibração de Barras em Balanço

18 Vibração de Barra em Balanço SimulaçãoSimulação

19 Vibração de Barra em Balanço SimulaçãoSimulação

20 Vibração de Cabos Inúmeras aplicações na construção civilInúmeras aplicações na construção civil Em particular, são usados nos mecanismos de segurança.Em particular, são usados nos mecanismos de segurança. Exemplo: o mecanismo linha de vida, usado para impedir a queda de trabalhadores em obras realizadas a grandes alturasExemplo: o mecanismo linha de vida, usado para impedir a queda de trabalhadores em obras realizadas a grandes alturas

21 Vibração de Cabo Sujeito a uma Força Proporcional à distância A equação da corda vibrante, sobre atuação de uma força proporcional à distânciaA equação da corda vibrante, sobre atuação de uma força proporcional à distância Condições de contorno Condições iniciaisCondições de contorno Condições iniciais

22 Do método de separação de variáveis e as condições de contorno, obtém-se a resposta Coeficientes Entrada do sistema Vibração de Cabo Sujeito a uma Força Proporcional à distância

23 Com L=1m, c=1/4m/s, A=60kgf,Com L=1m, c=1/4m/s, A=60kgf, Posição inicial do caboPosição inicial do cabo Vibração de Cabo Sujeito a uma Força Proporcional à distância

24 Posição do cabo para vários temposPosição do cabo para vários tempos Vibração de Cabo Sujeito a uma Força Proporcional à distância

25 SimulaçãoSimulação Vibração de Cabo Sujeito a uma Força Proporcional à distância

26 Vibração de Cabos Mecanismo da linha de vidaMecanismo da linha de vida

27 Vibração de uma Membrana Circular Equação diferencialEquação diferencial O deslocamento independe do ângulo θO deslocamento independe do ângulo θ

28 Condições de contorno Condições iniciais Vibração de uma Membrana Circular

29 Com o método de separação de variáveisCom o método de separação de variáveis CoeficientesCoeficientes Vibração de uma Membrana Circular

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31 SimulaçãoSimulação Vibração de uma Membrana Circular

32 Agradecimentos À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul – FAPERGS, pelo apoio.À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul – FAPERGS, pelo apoio. À MR Engenharia Empreendimentos e Consul- torias Ltda, em especial à Eng.ª de Segurança no Trabalho Maria Regina Pereira Buss, pelo acesso ao canteiro de obras.À MR Engenharia Empreendimentos e Consul- torias Ltda, em especial à Eng.ª de Segurança no Trabalho Maria Regina Pereira Buss, pelo acesso ao canteiro de obras. À Professora Elisabeta D Elia Gallicchio, pela ori- entação.À Professora Elisabeta D Elia Gallicchio, pela ori- entação. Aos professores Ignácio Iturrioz e Jun Sérgio Ono Fonseca do Curso de Engenharia Mecânica que esclareceram dúvidas.Aos professores Ignácio Iturrioz e Jun Sérgio Ono Fonseca do Curso de Engenharia Mecânica que esclareceram dúvidas.

33 Referências ARTICOLO, G. Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V. ACADEMIC PRESS, New York, US, 1998.ARTICOLO, G. Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V. ACADEMIC PRESS, New York, US, ASMAR, N. Partial Differential Equations and Boundary Value Problems. Prentice-Hall, Inc., New Jersey, US, 2000.ASMAR, N. Partial Differential Equations and Boundary Value Problems. Prentice-Hall, Inc., New Jersey, US, AYRES, Frank Jr., Equações Diferenciais, Coleção Schaum, 1ª ed, Rio de Janeiro, ed. Livro Técnico S.A., AYRES, Frank Jr., Equações Diferenciais, Coleção Schaum, 1ª ed, Rio de Janeiro, ed. Livro Técnico S.A., CLAEYSSEN,J., GALLICCHIO, E., TAMAGNA, A., Sistemas Vibratórios Amortecidos, Porto Alegre, Editora da UFRGS, 2004.CLAEYSSEN,J., GALLICCHIO, E., TAMAGNA, A., Sistemas Vibratórios Amortecidos, Porto Alegre, Editora da UFRGS, HIBBELER, R.C., Estática: Mecânica para Engenharia, São Paulo, Editora Pearson, HIBBELER, R.C., Estática: Mecânica para Engenharia, São Paulo, Editora Pearson, INMAN, Daniel J., Engineering Vibration, Prentice-Hall Inc., New Jersey, US, INMAN, Daniel J., Engineering Vibration, Prentice-Hall Inc., New Jersey, US, LECKAR, H., SAMPAIO, R., CATALDO, E., Revista Tema – Tendências em Mat. Aplicada Computacional, SBMAC, LECKAR, H., SAMPAIO, R., CATALDO, E., Revista Tema – Tendências em Mat. Aplicada Computacional, SBMAC, 2006.

34 Referências MADALOZZO, D., GALLICCHIO, E.,Transporte Vertical de Materiais, Suspensão de Cargas e Deslocamentos Horizon- tais: Uma Abordagem Matemática na Análise de Situações em um Canteiro Obras, XVIII Salão de Iniciação Científica UFRGS/2006.MADALOZZO, D., GALLICCHIO, E.,Transporte Vertical de Materiais, Suspensão de Cargas e Deslocamentos Horizon- tais: Uma Abordagem Matemática na Análise de Situações em um Canteiro Obras, XVIII Salão de Iniciação Científica UFRGS/2006. SAMPAIO, R., ALMEIDA, P., RITTO, T., Vibrações Mecânicas – Dinâmica de Estruturas Flexíveis, PUC, Rio de Janeiro, 2007.SAMPAIO, R., ALMEIDA, P., RITTO, T., Vibrações Mecânicas – Dinâmica de Estruturas Flexíveis, PUC, Rio de Janeiro, SPIEGEL, Murray, Equaciones Diferenciales aplicadas, Pren- tice-Hall Inc., Máxico, 1983.SPIEGEL, Murray, Equaciones Diferenciales aplicadas, Pren- tice-Hall Inc., Máxico, THOMSON, Willian T., Teoria da Vibração com Aplicações, Editora Interciência, Rio de Janeiro, 1978.THOMSON, Willian T., Teoria da Vibração com Aplicações, Editora Interciência, Rio de Janeiro, WHITE, Richard N., GERGELY, Peter, SEXSMITH, Robert G., Estructural Engineering – Introdution to Design Concepts and Analysis, V.1, Canada, John Willey & sons Inc, WHITE, Richard N., GERGELY, Peter, SEXSMITH, Robert G., Estructural Engineering – Introdution to Design Concepts and Analysis, V.1, Canada, John Willey & sons Inc, 1972.

35 Equações Diferenciais e Aplicações na Engenharia: Vibrações de Vigas, Barras e Cabos Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul – FAPERGS 2007


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