Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul – FAPERGS

Apresentação em tema: "Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul – FAPERGS"— Transcrição da apresentação:

1 Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul – FAPERGS
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Equações Diferenciais e Aplicações na Engenharia: Vibrações de Vigas, Barras e Cabos Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul – FAPERGS 2007

2 Um resultado obtido no projeto:
Equações Diferenciais e Engenharia de Segurança no Trabalho – Algumas Aplicações Básicas Fapergs – Processo: Um resultado obtido no projeto:

3 Dados de Identificação
Aluno Bolsista: Fábio Henrique de Souza Curso: Engenharia Mecânica Professor Orientador: Elisabeta D’ Elia Gallicchio Período de Vigência: outubro de 2006 a julho de 2007 Instituição: Universidade Federal do Rio Grande do Sul Unidade: Instituto de Matemática Órgão: Departamento de Matemática Pura e Aplicada

4 Objetivos Resolver problemas pertinentes à construção civil.
Estudar as equações utilizadas na modelagem dos problemas e os métodos adequados a sua resolução. Em cada caso, resolver o sistema e simular a resposta através de animação com o software Maple.

5 Problemas Resolvidos Deflexão de vigas Vibração de vigas
Vibração de barras Vibração de cabos Vibração de uma membrana circular

6 Deflexão de Vigas Deflexão vertical: Deformação elástica das vigas
Modelagem: equação diferencial ordinária de quarta ordem

7 Deflexão de Vigas – Viga Engastada-apoiada
A partir da relação entre o momento fletor e a carga por unidade de comprimento Chega-se a EDO que modela a deflexão da viga Para um caso particular em que L=10m, E=8x10 N/m² e Iz=3x10 m

8 Deflexão de Vigas – Viga Engastada-apoiada
Com a carga representada pela Delta de Dirac E as condições de contorno A resposta do sistema com o método da Transformada de Laplace é

9 Deflexão de Vigas – Viga Engastada-apoiada
Simulação da deflexão: Flecha:

10 Vibração transversal de vigas
Vibração de Vigas Vibração transversal de vigas Modelagem: equação de Euler-Bernoulli

11 Vibração de uma Viga Bi-apoiada
Equação de Euler-Bernoulli Condições de contorno Condições iniciais

12 Vibração de uma Viga Bi-apoiada

13 Vibração de uma Viga Bi-apoiada
Simulação

14 Vibração longitudinal:
Vibração de Barras Vibração longitudinal: Modelagem - através da equação da onda unidimensional

15 Vibração de Barras – Barra em Balanço
Modelagem: Equação diferencial Condições de contorno Condições iniciais

16 Vibração de Barras – Barra em Balanço
Resposta do sistema Barra com posição inicial u(x,0)=f(x)=0.01m, L=10m, E=21*10 N/m² e ρ =7*10³ kg/m³

17 Vibração de Barras em Balanço

18 Vibração de Barra em Balanço
Simulação

19 Vibração de Barra em Balanço
Simulação

20 Vibração de Cabos Inúmeras aplicações na construção civil
Em particular, são usados nos mecanismos de segurança. Exemplo: o mecanismo linha de vida, usado para impedir a queda de trabalhadores em obras realizadas a grandes alturas

21 Vibração de Cabo Sujeito a uma Força Proporcional à distância
A equação da corda vibrante, sobre atuação de uma força proporcional à distância Condições de contorno Condições iniciais

22 Vibração de Cabo Sujeito a uma Força Proporcional à distância
Do método de separação de variáveis e as condições de contorno, obtém-se a resposta Coeficientes Entrada do sistema

23 Vibração de Cabo Sujeito a uma Força Proporcional à distância
Com L=1m, c=1/4m/s, A=60kgf, Posição inicial do cabo

24 Vibração de Cabo Sujeito a uma Força Proporcional à distância
Posição do cabo para vários tempos

25 Vibração de Cabo Sujeito a uma Força Proporcional à distância
Simulação

26 Vibração de Cabos Mecanismo da linha de vida

27 Vibração de uma Membrana Circular
Equação diferencial O deslocamento independe do ângulo θ

28 Vibração de uma Membrana Circular
Condições de contorno Condições iniciais

29 Vibração de uma Membrana Circular
Com o método de separação de variáveis Coeficientes

30 Vibração de uma Membrana Circular

31 Vibração de uma Membrana Circular
Simulação

32 Agradecimentos À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul – FAPERGS, pelo apoio. À MR Engenharia Empreendimentos e Consul-torias Ltda, em especial à Eng.ª de Segurança no Trabalho Maria Regina Pereira Buss, pelo acesso ao canteiro de obras. À Professora Elisabeta D’ Elia Gallicchio, pela ori-entação. Aos professores Ignácio Iturrioz e Jun Sérgio Ono Fonseca do Curso de Engenharia Mecânica que esclareceram dúvidas.

33 Referências ARTICOLO, G. Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V. ACADEMIC PRESS, New York, US, 1998. ASMAR, N. Partial Differential Equations and Boundary Value Problems. Prentice-Hall, Inc., New Jersey, US, 2000. AYRES, Frank Jr., Equações Diferenciais, Coleção Schaum, 1ª ed, Rio de Janeiro, ed. Livro Técnico S.A., 1966. CLAEYSSEN,J., GALLICCHIO, E., TAMAGNA, A., Sistemas Vibratórios Amortecidos, Porto Alegre, Editora da UFRGS, 2004. HIBBELER, R.C., Estática: Mecânica para Engenharia, São Paulo, Editora Pearson, 2005. INMAN, Daniel J., Engineering Vibration, Prentice-Hall Inc., New Jersey, US, 1996. LECKAR, H., SAMPAIO, R., CATALDO, E., Revista Tema – Tendências em Mat. Aplicada Computacional, SBMAC, 2006.

34 Referências MADALOZZO, D., GALLICCHIO, E.,Transporte Vertical de Materiais, Suspensão de Cargas e Deslocamentos Horizon-tais: Uma Abordagem Matemática na Análise de Situações em um Canteiro Obras, XVIII Salão de Iniciação Científica UFRGS/2006. SAMPAIO, R., ALMEIDA, P., RITTO, T., Vibrações Mecânicas – Dinâmica de Estruturas Flexíveis, PUC, Rio de Janeiro, 2007. SPIEGEL, Murray, Equaciones Diferenciales aplicadas, Pren-tice-Hall Inc., Máxico, 1983. THOMSON, Willian T., Teoria da Vibração com Aplicações, Editora Interciência, Rio de Janeiro, 1978. WHITE, Richard N., GERGELY, Peter, SEXSMITH, Robert G., Estructural Engineering – Introdution to Design Concepts and Analysis, V.1, Canada, John Willey & sons Inc, 1972.

35 Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul – FAPERGS
Equações Diferenciais e Aplicações na Engenharia: Vibrações de Vigas, Barras e Cabos Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul – FAPERGS 2007