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SEQÜÊNCIAS Prof. Marcelo de Oliveira Rosa. Seqüências Representação amostral de um sinal Processo de amostragem Conversor AD (analógico-digital) Decorrente.

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1 SEQÜÊNCIAS Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

2 Seqüências Representação amostral de um sinal Processo de amostragem Conversor AD (analógico-digital) Decorrente do uso de computadores em: Aquisição via sensores e conversores AD Controle digital Atuação via atuadores e conversores DA

3 Seqüências Definição onde: x(t) x(t) é um sinal/função contínua (t R) T a T a é o período de amostragem n n é o instante de tempo (n Z) adimensional n é adimensional não existe Obs: não existe informação em x[n] entre n e n+1

4 Seqüências Definição Representação gráfica

5 Seqüência Efeito do período de amostragem

6 Sequências Efeito do período de amostragem Ao invés de reproduzir x(t) em x[n], reproduzimos outro sinal x T (t) com propriedades espectrais distintas. Aliasing Aliasing Componentes de baixa-freqüência de x(t) se transformam em componentes de alta-freqüência em x T (t) x(t) conversão AD x[n] conversão DA x T (t) x(t) x T (t) Resolução do problema Teorema de Nyquist Teorema de Nyquist

7 Seqüências Seqüências periódicas e não-periódicas Seqüências periódicas e não-periódicas onde σ e ω R Incluem-se também

8 Seqüências Seqüências periódicas e não-periódicas Para todo x(t) periódico, x[n] é periódico? A freqüência de amostragem influencia a periodicidade da seqüência?

9 Seqüências Seqüências periódicas e não-periódicas Definição de periodicidade x[n] = x[n+N] x[n] = x[n+N] N Z * Para seqüência senoidais, f = ω / 2π = m / N x[n] = A cos(ωn + θ) Referência para seqüência senoidal f é razão entre números inteiros (f Q) Condição senoidal periódica Condição para x[n] senoidal ser periódica

10 Seqüências Seqüências periódicas e não-periódicas Considerando o processo de amostragem Temos: Condição Condição para sinal periódico amostrado produzir seqüência periódica

11 Seqüências Seqüências periódicas e não-periódicas N = 8, zero m 3 zero f < 0,5

12 Seqüências Seqüências periódicas e não-periódicas N = 8, 5 m < 8 0,5 < f < 1 m=8

13 Seqüências Seqüências periódicas e não-periódicas se repete Padrão senoidal discreto se repete a múltiplos de f Intervalos úteis zero f < 1 [ciclos/amostra] zero ω < 2π [radianos/amostra]

14 Seqüências Seqüências periódicas e não-periódicas Interpretação N N Número de amostras de um período discreto m m Número de ciclos contínuos reproduzidos em um período discreto m/N m/N Fração do ciclo contínuo usado na amostragem fω f ou ω Freqüência discreta

15 Seqüências Seqüências com singularidades Similaridade Similaridade com sinais singulares Não existe conceito de descontinuidade Representação de fenômenos como Liga-desliga Amostragem Representação matemática de séries numéricas Série de Fourier

16 Seqüências Seqüências com singularidades Delta unitário Delta unitário Ou delta de Kronecker Observe que não há problemas na definição para n=0, como ocorre com o delta de Dirac. Não há problemas de escala como no delta de Dirac δ[an] = δ[n]

17 Seqüências Seqüências com singularidades Degrau unitário Degrau unitário Observe que para n=0, u[0] = 1, não havendo problema de definição como em u(t)

18 Seqüências Seqüências com singularidades Sinal unitário Sinal unitário Rampa unitária Rampa unitária

19 Seqüências Seqüências com singularidades Pulso unitário Pulso unitário ímpar Note que para qualquer N, o total de amostras é sempre ímpar (2N+1). Como representar um pulso unitário com um total par de amostras?

20 Seqüências Seqüências com singularidades Trem de impulsos unitário Trem de impulsos unitário

21 Seqüências Operações básicas Somasubtração Soma e subtração de sinais Multiplicaçãoquociente Multiplicação e quociente de sinais amostra-a-amostra São realizadas amostra-a-amostra Deslocamento temporal Deslocamento temporal Operação de atraso ou avanço de seqüências f[n] = g[n + n 0 ] f(t) está adiantado em relação a g[n] h[n] = g[t – t 0 ] h[n] está atrasada em relação a g[n] Escala em amplitude Escala em amplitude y[n] = α x[n]

22 Seqüências Operações básicas Escala no tempo Escala no tempo Escala dos instantes n y[n] = x[A n] y[n] = x[n/A] Os resultados da escala no tempo para seqüências são equivalentes àqueles obtidos para escala no tempo de sinais?

23 Seqüências Operações básicas Escala no tempo decimação Primeiro caso: compressão ou decimação y[n] = x [A n] Perda de amostras decorrente de n Z Tal perda não ocorre com y(t) = x(A t) Se a é par apenas amostras em instantes pares serão mantidas

24 Seqüências Operações básicas Escala no tempo interpolação Segundo caso: dilatação ou interpolação y[n] = x [n/A] Existência de situações com (n/A) Z Nesses casos, y[n] é indefinido O que fazer?

25 Seqüências Operações básicas Escala no tempo interpolação Segundo caso: dilatação ou interpolação y[n] = x [n/A] Existência de situações com (n/A) Z Nesses casos, y[n] é indefinido Redefinição de escala no tempo para interpolação

26 Seqüências Operações básicas Acumulação Acumulação Semelhante à integração no domínio contínuo Mesma ambigüidade da integração Problema da constante de integração

27 Seqüências Operações básicas Diferença finita Diferença finita Semelhante à diferenciação no domínio contínuo Pode gerar várias expressões

28 Seqüências Energia e Potência de Seqüências Equivalente às grandezas de x(t) Estimativa de energia que a seqüência carrega Energia da seqüência Energia da seqüência Usado quando o somatório converge Seqüências finitas, por exemplo

29 Seqüências Energia e Potência de Seqüências Potência da seqüência Potência da seqüência Usado em seqüências periódicas N N é um período completo da seqüência k Para um instante k qualquer (para facilitar o cálculo)


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