Resultantes de Sistemas de Forças Cap. 4

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1 Resultantes de Sistemas de Forças Cap. 4
MECÂNICA - ESTÁTICA Resultantes de Sistemas de Forças Cap. 4

2 Definir o momento de um binário.
Objetivos Discutir o conceito de momento de uma força e mostrar como calcular este momento em duas e três dimensões. Fornecer um método para encontrar o momento de uma força em torno de um eixo específico. Definir o momento de um binário. Apresentar métodos para determinar resultantes de sistemas de forças não concorrentes. Indicar como reduzir um sistema de cargas distribuidas em uma força resultante numa posição específica.

3 4.1 Momento de uma Força – Formulação Escalar
O momento de uma força em relação a um ponto ou um eixo fornece a medida da tendência da força em girar o corpo em torno do ponto ou eixo. z  ao plano x-y no qual Fx atua Fx causa uma tendência de giro do tubo ao longo do eixo z Fx causa um momento no eixo z (MO)z

4 4.1 Momento de uma Força – Formulação Escalar
O momento de uma força em relação a um ponto ou um eixo fornece a medida da tendência da força em girar o corpo em torno do ponto ou eixo. x  ao plano z-y no qual Fz atua Fz causa uma tendência de giro do tubo ao longo do eixo x Fz causa um momento no eixo x (MO)x

5 4.1 Momento de uma Força – Formulação Escalar
O momento de uma força em relação a um ponto ou um eixo fornece a medida da tendência da força em girar o corpo em torno do ponto ou eixo. Fy pelo ponto O  Fy não causa tendência de giro no tubo porque a sua linha de ação passa pelo ponto O.

6 4.1 Momento de uma Força – Formulação Escalar
Módulo do Momento: Mo = F d Onde d é o braço de momento ou, distância perpendicular do eixo no ponto O a linha de ação da força Direção e Sentido do Momento: Determinados pela regra da mão direita.

7 4.1 Momento de uma Força – Formulação Escalar
Momento Resultante de um Sistema de Forças Coplanares: Se um sistema de forças atua no plano x-y, então o momento produzido por cada força em torno do ponto O será direcionado ao longo do eixo z.  O momento resultante MRo do sistema é a soma algebrica dos momentos individuais de todas as forças. Q+ MRo = Fd

8 4.1 Momento de uma Força – Formulação Escalar
Fatores que afetam o momento: A direção da força O comprimento do braço de momento

9 4.1 Momento de uma Força – Formulação Escalar
Direção de F: Se <90° d é menor Se =90° d é máximo Comprimento de d: Aplique a força no fim da barra para maximizar d

10 Problema 4.5 Determine o módulo, direção e sentido do momento da força aplicada em A em torno do ponto P.

11 Problema Solução

12 Problema 4.13 Determine o momento em torno do ponto A para cada uma das três forças atuando na viga.

13 Problema Solução

14 Problema Solução

15 Problema Solução

16 O produto vetorial de dois vetores resulta num vetor: C = A x B
Módulo: C = A B sin  Direção: O vetor C tem uma direção  ao plano contendo A e B. O sentido de C é determinado pela regra da mão direita.

17 4.2 Produto Vetorial C = A x B = (ABsin) uC

18 Propriedades da Operação: A Lei comutativa não é valida: A x B  B x A
4.2 Produto Vetorial Propriedades da Operação: A Lei comutativa não é valida: A x B  B x A No entanto: A x B = -(B x A)

19 Propriedades da Operação: Multiplicação por um escalar:
4.2 Produto Vetorial Propriedades da Operação: Multiplicação por um escalar: a (A x B) = (aA) x B = A x (aB) = (A x B) a Lei Distributiva: A x (B + D) = (A x B) + (A x D)

20 Formulação através de Vetores Cartesianos: C = A x B = (A B sin ) uC
4.2 Produto Vetorial Formulação através de Vetores Cartesianos: C = A x B = (A B sin ) uC O módulo é determinado usando a formula C = A B sin  i x j =(1)(1)(sin90°) = (1)(1)(1)=1 O sentido e direção é determinado usando a regra da mão direita. Para esse caso, mostrado pela figura, o resultado é o versor k  i x j = (1) k = k

21 Formulação através de Vetores Cartesianos: C = A x B = (A B sin) uC
4.2 Produto Vetorial Formulação através de Vetores Cartesianos: C = A x B = (A B sin) uC i x j = k i x k = -j i x i = 0 j x k = i j x i = -k j x j = 0 k x i = j k x j = -i k x k = 0

22 4.2 Produto Vetorial

23  A x B = (Axi + Ayj +Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)
4.2 Produto Vetorial A = Axi + Ayj +Azk B = Bxi + Byj + Bzk  A x B = (Axi + Ayj +Azk) x (Bxi + Byj + Bzk) = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + AxBz (i x k) + AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) + AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k) = 0 + AxBy k – AxBz j - AyBx k AyBz i + AzBx j – AzBy i + 0

24 A x B = (AyBz – AzBy ) i + (AxBy – AyBx) k
4.2 Produto Vetorial A x B = (AyBz – AzBy ) i - (AxBz – AzBx) j + (AxBy – AyBx) k Esta equação tambem pode ser escrita na forma compacta de um determinante:

25 (-j)(AxBz - AzBx) (k)(AxBy - AyBx) Para elemento i: (i)(AyBz - AzBy )
4.2 Produto Vetorial Para elemento i: (i)(AyBz - AzBy ) Para elemento j: (-j)(AxBz - AzBx) Para elemento k: (k)(AxBy - AyBx)