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MECÂNICA - ESTÁTICA Resultantes de Sistemas de Forças Cap. 4.

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1 MECÂNICA - ESTÁTICA Resultantes de Sistemas de Forças Cap. 4

2 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 2 Objetivos Discutir o conceito de momento de uma força e mostrar como calcular este momento em duas e três dimensões. Fornecer um método para encontrar o momento de uma força em torno de um eixo específico. Definir o momento de um binário. Apresentar métodos para determinar resultantes de sistemas de forças não concorrentes. Indicar como reduzir um sistema de cargas distribuidas em uma força resultante numa posição específica.

3 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Momento de uma Força – Formulação Escalar O momento de uma força em relação a um ponto ou um eixo fornece a medida da tendência da força em girar o corpo em torno do ponto ou eixo. z ao plano x-y no qual F x atua F x causa uma tendência de giro do tubo ao longo do eixo z F x causa um momento no eixo z (M O ) z

4 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Momento de uma Força – Formulação Escalar O momento de uma força em relação a um ponto ou um eixo fornece a medida da tendência da força em girar o corpo em torno do ponto ou eixo. x ao plano z-y no qual F z atua F z causa uma tendência de giro do tubo ao longo do eixo x F z causa um momento no eixo x (M O ) x

5 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Momento de uma Força – Formulação Escalar O momento de uma força em relação a um ponto ou um eixo fornece a medida da tendência da força em girar o corpo em torno do ponto ou eixo. F y pelo ponto O F y não causa tendência de giro no tubo porque a sua linha de ação passa pelo ponto O.

6 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Momento de uma Força – Formulação Escalar Módulo do Momento: Mo = F d Onde d é o braço de momento ou, distância perpendicular do eixo no ponto O a linha de ação da força Direção e Sentido do Momento: Determinados pela regra da mão direita.

7 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Momento de uma Força – Formulação Escalar Momento Resultante de um Sistema de Forças Coplanares: Se um sistema de forças atua no plano x-y, então o momento produzido por cada força em torno do ponto O será direcionado ao longo do eixo z. O momento resultante M Ro do sistema é a soma algebrica dos momentos individuais de todas as forças. + M Ro = Fd

8 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Momento de uma Força – Formulação Escalar Fatores que afetam o momento: A direção da força O comprimento do braço de momento

9 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Momento de uma Força – Formulação Escalar Direção de F: Se <90° d é menor Se =90° d é máximo Comprimento de d: Aplique a força no fim da barra para maximizar d

10 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 10 Problema 4.5 Determine o módulo, direção e sentido do momento da força aplicada em A em torno do ponto P.

11 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 11 Problema Solução

12 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 12 Problema 4.13 Determine o momento em torno do ponto A para cada uma das três forças atuando na viga.

13 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 13 Problema Solução

14 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 14 Problema Solução

15 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR 15 Problema Solução

16 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Produto Vetorial O produto vetorial de dois vetores resulta num vetor: C = A x B Módulo: C = A B sin Direção: O vetor C tem uma direção ao plano contendo A e B. O sentido de C é determinado pela regra da mão direita.

17 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Produto Vetorial C = A x B = (ABsin ) uC

18 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Produto Vetorial Propriedades da Operação: A Lei comutativa não é valida: A x B B x A No entanto: A x B = -(B x A)

19 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Produto Vetorial Propriedades da Operação: Multiplicação por um escalar: a (A x B) = (aA) x B = A x (aB) = (A x B) a Lei Distributiva: A x (B + D) = (A x B) + (A x D)

20 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Produto Vetorial Formulação através de Vetores Cartesianos: C = A x B = (A B sin ) uC O módulo é determinado usando a formula C = A B sin i x j =(1)(1)(sin90°) = (1)(1)(1)=1 O sentido e direção é determinado usando a regra da mão direita. Para esse caso, mostrado pela figura, o resultado é o versor k i x j = (1) k = k

21 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Produto Vetorial Formulação através de Vetores Cartesianos: C = A x B = (A B sin ) uC i x j = ki x k = -ji x i = 0 j x k = ij x i = -kj x j = 0 k x i = jk x j = -ik x k = 0

22 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Produto Vetorial

23 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Produto Vetorial A = Axi + Ayj +Azk B = Bxi + Byj + Bzk A x B = (Axi + Ayj +Azk) x (Bxi + Byj + Bzk) = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + AxBz (i x k) + AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) + AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k) = 0 + AxBy k – AxBz j - AyBx k AyBz i + AzBx j – AzBy i + 0

24 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Produto Vetorial A x B = (AyBz – AzBy ) i - (AxBz – AzBx) j + (AxBy – AyBx) k Esta equação tambem pode ser escrita na forma compacta de um determinante:

25 TC021 - Mecânica Geral I - Estática © 2014 Curotto, C.L. - UFPR Produto Vetorial (i)(A y B z - A z B y ) (-j)(A x B z - A z B x ) (k)(A x B y - A y B x ) Para elemento i: Para elemento k: Para elemento j:


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