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GERADORES DE UM ESPAÇO VETORIAL Sejam os vetores: (2, 1) e (3, 2) de R 2. x e y, de (x, y), existem os números reais e, tais que (2, 1) + (3, 2) = (x,

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2 GERADORES DE UM ESPAÇO VETORIAL Sejam os vetores: (2, 1) e (3, 2) de R 2. x e y, de (x, y), existem os números reais e, tais que (2, 1) + (3, 2) = (x, y), pois o sistema = x = y terá sempre solução única. = 2x- 3y e = -x + 2y Para o vetor (23, 14), teremos = 2.23 – 3.14 = 4 = = 5 Assim, (23, 14) = 4.(2, 1) + 5.(3, 2) Fato diferente acontece com o para de vetores (1, 2) e (2, 4). Não é possível escrever o vetor (23, 14) na forma (1, 2) + (2, 4). + 2 = = 14 Simplificando a segunda equação, + 2 = 7. Isto contraria a primeira equação.

3 Existem e tais que (x, y) = (2, 1) + (3, 2), porém não existem e tais que (x, y) = (1, 2) + (2, 4). A não ser que: y = 2x. Como qualquer vetor (x, y) pode ser escritos como (2, 1) e (3, 2), dizemos que o conjunto {(2, 1), (3, 2)} gera o espaço vetorial R 2. Enquanto que: {(2,1), (4, 2)} não gera R 2. DEFINIÇÃO 1:- Dizemos que um vetor v é uma combinação linear dos vetores v 1, v 2, v 3,... v n se existirem os escalares 1, 2, 3,..., n, tais que v = 1 v v v n v n. APLICAÇÃO: Escrever o vetor (6, -9) como combinação linear dos vetores (1, 2) e (3, -1) (1, 2) + (3, -1) = (6, - 9) + 3 = 6 e 2 - = - 9 Da primeira equação = Substituindo esse valor na segunda equação: 2(6 - 3 ) - = = = - 21 = = 6 = - 3 Resposta: (6, -9) = -3.(1, 2) + 3.(3, -1)

4 DEFINIÇÃO 2:- Seja o conjunto G = {v 1, v 2, v 3,..., v n } onde cada vi é um vetor. O conjunto V de todos os vetores formados por combinações lineares de elementos de G, é denominado espaço vetorial gerado pelos vetores v 1, v 2, v 3,..., v n. Estes vetores são chamados de geradores do espaço vetorial V. EXERCÍCIOS 01 – Escreva o vetor (3, 2, -5) como combinação linear dos vetores (2, 1, 0), (-1, 0, 3) e (0, 4, 1). 02 – Escreva a matriz como combinação linear das matrizes – Escreva o polinômio 5x 3 + 2x 2 – 3x + 7 como combinação linear dos polinômios: x 3 + 2x + 1, x 2 – x + 2, x + 1, 5.

5 04 - Mostre que os vetores (2, 1) e (3, 2) são geradores do espaço vetorial R – Mostre que os vetores (2, 1, 0), (-1, 0, 3) e (0, 4, 1) geram o espaço vetorial R – Verifique se os polinômios x 4 + x, x 3 + 2x, x 2 – 4x 0, x + 1, 2x 0 geram o espaço vetorial formados pelos polinômios de 3º grau. Os polinômios de 3º tem forma ax 3 + bx 2 + cx + d.


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