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25 Nov 2008. 15:36 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Determinação numérica de autovalores e autovetores Método de Francis (QR)

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1 25 Nov :36 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Determinação numérica de autovalores e autovetores Método de Francis (QR)

2 25 Nov :13 Método de Francis (QR) Similar ao método LR Decompomos a matriz em um produto de duas matrizes. A 1 = R 1 Q 1 Para obter a matriz seguinte da seqüência {A k }, invertemos a ordem do produto: A 2 = Q 1 R 1 E novamente decompomos e continuamos o processo...

3 25 Nov :13 Método de Francis (QR) A=A 1, A 1 =Q 1 R 1 A 2 =R 1 Q 1 e decompõe A 2 =Q 2 R 2, A 3 =R 2 Q 2 e decompõe A 3 =Q 3 R 3,... A k =R k-1 Q k-1 e decompõe A k =Q k R k

4 25 Nov :13 Método QR No caso do método QR: A primeira matriz do produto é ortogonal (QQ t = Q t Q= I) A segunda matriz é uma matriz triangular superior.

5 25 Nov :13 Observações A decomposição de A no produto LR só é possível se A satisfizer o teorema LU. A decomposição QR sempre é possível. A seqüência {A k } converge para uma matriz triangular superior. Os elementos da diagonal da matriz A k são os autovalores procurados.

6 25 Nov :13 Observações O processo termina quando o maior valor absoluto da matriz A k (abaixo da diagonal principal) for menor que a precisão dada ( ). Em cada passo do método é necessário determinar as matrizes Q k e R k onde Q k é uma matriz ortogonal e R k é triangular superior.

7 25 Nov :13 Como obter Q e R ? Queremos A = QR Vamos achar uma matriz U 1, ortogonal, tal que a multiplicação de U 1 por A zera o elemento a 21. Vamos achar uma matriz U 2, ortogonal, tal que a multiplicação de U 2 por U 1 A zera o elemento a 31. e assim por diante...

8 25 Nov :13 Como obter Q e R ? Logo: U n... U 2 U 1 A = R Como as matrizes U são ortogonais, U -1 = U T : A = U 1 T U 2 T... U n T R Q

9 25 Nov :13 Matriz rotacional Definição: Uma matriz rotacional U difere da matriz identidade em quatro elementos. Esses quatro elementos são da forma: Para qualquer matriz rotacional U, a matriz AU difere de A apenas na p-ésima e q-ésima coluna e a matriz UA difere de A apenas na p-ésima e q-ésima linha. Para qualquer p q, o ângulo pode ser escolhido de modo que o elemento q £ p de UA seja zero. Como matriz U, vamos usar matrizes rotacionais:

10 25 Nov :13 Matriz rotacional Ex.: 3x3: Ex.: Caso geral:

11 25 Nov :13 Obtendo cos e sen Para zerar a 21, fazemos U 1 A: No caso geral, queremos zerar o elemento a qp. q p

12 25 Nov :13 Zerando o elemento a pq Então: e, logo:

13 25 Nov :13 Exemplo geral (caso 3x3) Zerando o elemento a 21 :

14 25 Nov :13 Exemplo geral (caso 3x3) Zerando o elemento a 31 :

15 25 Nov :13 Exemplo geral (caso 3x3) Zerando o elemento a 32 :

16 25 Nov :13 Exemplo geral (caso 3x3) Obtendo as matrizes Q e R:

17 25 Nov :13 Exemplo Determinar os autovalores da matriz com precisão Solução: Como a 21 já é igual a zero, não precisamos nos preocupar com ele. Começamos zerando a 31.

18 25 Nov :13 Exemplo (solução) Obtendo U 2 (zerando a 31 )

19 25 Nov :13 Exemplo (solução) Usaríamos a matriz U 2 U 1 A para calcular agora a matriz U 3. Mas veja que isso não é necessário, pois a 31 já é igual a zero! Logo, U 2 A = R 1 e:

20 25 Nov :13 Calculando A 2 e verificando critério de parada. Maior que 10 -2, continuamos. Não precisamos de U 1 nem de U 3

21 25 Nov :13 Iteração 2 Determinar U 2 tal que U 2 A 2 tem a' 31 = 0

22 25 Nov :13 Iteração 2

23 25 Nov :13 Iteração 3 e critério de parada Todos os elementos abaixo da diagonal são menores que o erro pedido (10 -2 ) Logo, os autovalores são os elementos da diagonal: = , 1, (Os autovalores são, com precisão maior: , 1 e ).

24 25 Nov :13 Exercícios


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