Cálculo Numérico / Métodos Numéricos

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1 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos
Interpolação Polinomial Introdução 7 Apr :37

2 Polinômios Polinômios são funções da forma:
8 May :56 Polinômios Polinômios são funções da forma: Eles possuem características especiais: São fáceis de calcular. A derivada de um polinômio é um polinômio. A integral de um polinômio é um polinômio.

3 Interpolação polinomial (Aplicação 1)
8 May :56 Interpolação polinomial (Aplicação 1) Em muitos casos, temos apenas um conjunto de pontos: x0, x1, ... xn Por exemplo, em dados obtidos através de experimentos. Se vamos aproximar estes pontos por uma função, dadas as características apresentadas, os polinômios são bons candidatos.

4 Interpolação polinomial (Aplicação 1)
8 May :56 Interpolação polinomial (Aplicação 1) x0, x1, ... xn polinômio

5 Interpolação polinomial (Aplicação 2)
8 May :56 Interpolação polinomial (Aplicação 2) Em outros casos, temos a forma da função f(x). Ainda assim, para simplificar o manejo, pode ser interessante aproximá-la por um polinômio. polinômio

6 Problema da interpolação
8 May :56 Problema da interpolação Dados n+1 pontos: x0, x1, ... xn E n+1 valores y0, y1, ... yn Determinar o polinômio Pn(x), de grau máximo n, tal que: Pn(x0) = y0, Pn(x1) = y Pn(xn) = yn

7 8 May :56 Teorema da unicidade Teorema 8.1 (Franco, p. 288): Dados n+1 pontos distintos x0,x1,...xn e n+1 valores y0, y1, ..., yn, existe um e só um polinômio Pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que: Pn(xk) = yk, k=0,...,n Prova: Em cada ponto xi, temos que obter yi:

8 Teorema da unicidade (prova)
8 May :56 Teorema da unicidade (prova) Vamos criar um Determinante (Determinante de Vandermonde) da seguinte forma: (que é o determinante da matriz do sistema linear, quando os coeficientes a0,...an são considerados as variáveis do sistema)

9 Teorema da unicidade (prova)
8 May :56 Teorema da unicidade (prova) Adaptando o determinante de Vandermonde, eliminando o ponto xn e colocando uma variável x, temos: Note que se fizermos x = x0, ou x=x1 ou ... x=xn, o determinante se anula. Logo:

10 Teorema da unicidade (prova)
8 May :56 Teorema da unicidade (prova) A é o coeficiente do termo de maior grau. Desenvolvendo o determinante pela última linha, observamos que o termo que multiplica xn é V(x0,x1,...xn-1), logo: A = V(x0, x1, x2, ... xn-1) Logo:

11 Teorema da unicidade (prova)
8 May :56 Teorema da unicidade (prova) Substituindo x por xn, temos a seguinte fórmula de recorrência: Sabemos que V(x0, x1) = (x1 - x0), logo: V(x0, x1 , x2,) = (x1 - x0) (x2-x0)(x2-x1) e de maneira geral: recorrência novo termo

12 Teorema da unicidade (prova)
8 May :56 Teorema da unicidade (prova) Como por hipótese, os pontos x0, x1, ... xn são distintos: E portanto o sistema: tem uma única solução V  0

13 Aplicação Podemos resolver o sistema
8 May :56 Aplicação Podemos resolver o sistema E obter os valores dos coeficientes do Polinômio que interpola os pontos. Porém: Trabalhoso Susceptível a erros numéricos. Vamos estudar outras maneiras!