A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

7 Apr 2008. 13:37 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Interpolação Polinomial Introdução.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "7 Apr 2008. 13:37 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Interpolação Polinomial Introdução."— Transcrição da apresentação:

1 7 Apr :37 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Interpolação Polinomial Introdução

2 8 May :56 Polinômios Polinômios são funções da forma: Eles possuem características especiais: São fáceis de calcular. A derivada de um polinômio é um polinômio. A integral de um polinômio é um polinômio.

3 8 May :56 Interpolação polinomial (Aplicação 1) Em muitos casos, temos apenas um conjunto de pontos: x 0, x 1,... x n Por exemplo, em dados obtidos através de experimentos. Se vamos aproximar estes pontos por uma função, dadas as características apresentadas, os polinômios são bons candidatos.

4 8 May :56 Interpolação polinomial (Aplicação 1) x 0, x 1,... x n polinômio

5 8 May :56 Interpolação polinomial (Aplicação 2) Em outros casos, temos a forma da função f(x). Ainda assim, para simplificar o manejo, pode ser interessante aproximá-la por um polinômio. polinômio

6 8 May :56 Problema da interpolação Dados n+1 pontos: x 0, x 1,... x n E n+1 valores y 0, y 1,... y n Determinar o polinômio P n (x), de grau máximo n, tal que: P n (x 0 ) = y 0, P n (x 1 ) = y 1... P n (x n ) = y n

7 8 May :56 Teorema da unicidade Teorema 8.1 (Franco, p. 288): Dados n+1 pontos distintos x 0,x 1,...x n e n+1 valores y 0, y 1,..., y n, existe um e só um polinômio P n (x), de grau menor ou igual a n, tal que: P n (x k ) = y k, k=0,...,n Prova: Em cada ponto x i, temos que obter y i :

8 8 May :56 Teorema da unicidade (prova) Vamos criar um Determinante (Determinante de Vandermonde) da seguinte forma: (que é o determinante da matriz do sistema linear, quando os coeficientes a 0,...a n são considerados as variáveis do sistema)

9 8 May :56 Teorema da unicidade (prova) Adaptando o determinante de Vandermonde, eliminando o ponto x n e colocando uma variável x, temos: Note que se fizermos x = x 0, ou x=x 1 ou... x=x n, o determinante se anula. Logo:

10 8 May :56 Teorema da unicidade (prova) A é o coeficiente do termo de maior grau. Desenvolvendo o determinante pela última linha, observamos que o termo que multiplica x n é V(x 0,x 1,...x n-1 ), logo: A = V(x 0, x 1, x 2,... x n-1 ) Logo:

11 8 May :56 Teorema da unicidade (prova) Substituindo x por x n, temos a seguinte fórmula de recorrência: Sabemos que V(x 0, x 1 ) = (x 1 - x 0 ), logo: V(x 0, x 1, x 2, ) = (x 1 - x 0 ) (x 2 -x 0 )(x 2 -x 1 ) e de maneira geral: recorrência novo termo

12 8 May :56 Teorema da unicidade (prova) Como por hipótese, os pontos x 0, x 1,... x n são distintos: E portanto o sistema: tem uma única solução V 0

13 8 May :56 Aplicação Podemos resolver o sistema E obter os valores dos coeficientes do Polinômio que interpola os pontos. Porém: Trabalhoso Susceptível a erros numéricos. Vamos estudar outras maneiras!


Carregar ppt "7 Apr 2008. 13:37 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Interpolação Polinomial Introdução."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google