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19 Jun 2008. 16:46 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Determinação numérica de autovalores e autovetores Método das Potências.

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1 19 Jun :46 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Determinação numérica de autovalores e autovetores Método das Potências

2 19 Jun :13 Método das potências Idéia: Determinar o autovalor de maior valor absoluto de uma matriz A e o seu correspondente autovetor sem determinar o polinômio característico da matriz. Por que ? Algumas vezes, na prática, queremos determinar autovalores de módulo grande.

3 19 Jun :13 Teorema 6.2 Seja A uma matriz real de ordem n e sejam 1, 2,... n seus autovalores e u 1, u 2,... u n seus correspondentes autovetores. Suponha que os autovetores são linearmente independentes e que 1 2 n Seja ainda a sequência definida por y k+1 = Ay k, k=0,1,... Tome y 0 como um valor arbitrário (que deve permitir a expansão abaixo) Então: com c j escalares e c 1 0. e y k tende ao autovetor correspondente.

4 19 Jun :13 Demonstração Por hipótese: y 0 = c 1 u 1 + c 2 u c n u n. Au i = i u i

5 19 Jun :13 Demonstração... quando k-> 1 tende a zero converge para c 1 u 1 (um múltiplo do autovetor correspondente a 1 ) 0

6 19 Jun :13 Demonstração E o autovalor: fim da demonstração. r-ésima componente.

7 19 Jun :13 Cálculo de 1 (normalização) Na prática, o cálculo de 1 é feito através da construção de dois outros vetores:

8 19 Jun :13 Cálculo de 1 (normalização)

9 19 Jun :13

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