A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

© 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 1 Capítulo 15 Noções de trigonometria e funções trigonométricas.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "© 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 1 Capítulo 15 Noções de trigonometria e funções trigonométricas."— Transcrição da apresentação:

1 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 1 Capítulo 15 Noções de trigonometria e funções trigonométricas

2 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 2 Objetivos de aprendizagem Graus e radianos. Comprimento de arco. Algumas medidas trigonométricas. O círculo trigonométrico. Algumas funções trigonométricas. Arcos trigonométricos inversos. Identidades fundamentais.

3 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 3 Graus e radianos O grau é representado pelo símbolo ° e é o ângulo cuja medida é igual a de um ângulo raso. O radiano é o ângulo central formado quando um arco de comprimento s tem a mesma medida do raio r do círculo, no qual está inserido.

4 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 4 Comprimento de arco Fórmula do comprimento do arco (medida em radianos) Se é um ângulo central em um círculo de raio r, e se é medido em radianos, então o comprimento s do arco interceptado é dado por : s = r Fórmula do comprimento do arco (medida em graus) Se é um ângulo central em um círculo de raio r, e se é medido em graus, então o comprimento s do arco interceptado é dado por:

5 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 5 Algumas medidas trigonométricas Triângulo de vértices ABC e medidas trigonométricas do ângulo.

6 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 6 Algumas medidas trigonométricas A posição inicial do raio, o lado inicial, é girado em torno de sua extremidade, chamada de vértice. A posição final é chamada de lado terminal. Ângulos positivos são gerados por rotações no sentido anti- horário, e ângulos negativos são gerados por rotações no sentido horário. Um ângulo com medida positiva.

7 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 7 Algumas medidas trigonométricas Dois ângulos na posição padrão. Em (a) a rotação anti-horária gera um ângulo com medida positiva. Em (b) a rotação horária gera um ângulo com medida negativa.

8 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 8 Algumas medidas trigonométricas Ângulos equivalentes. Em (a) um ângulo positivo e um ângulo negativo são equivalentes, enquanto em (b) ambos os ângulos equivalentes são positivos.

9 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 9 O círculo trigonométrico Temos ao lado o círculo de raio 1; o eixo horizontal x fornece a medida do cosseno do ângulo formado, partindo do 0 no sentido anti-horário, e o eixo vertical y fornece a medida do seno do mesmo ângulo.

10 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 10 Funções trigonométricas A função seno: f (x) = sen x ou f(x) = sen (x) Domínio: conjunto de todos os números reais. Imagem: [-1, 1]. A função é contínua. É alternadamente crescente e decrescente. É periódica de período 2. É simétrica com relação à origem (é uma função ímpar). É limitada. O máximo absoluto é 1. O mínimo absoluto é -1. Não tem assíntotas horizontais. Não tem assíntotas verticais.

11 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 11 Funções trigonométricas A função seno: Comportamento nos extremos do domínio: não existem. Os valores da função oscilam de -1 até 1.

12 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 12 Funções trigonométricas A função cosseno: f(x) = cos x ou f(x) = cos (x) Domínio: conjunto de todos os números reais. Imagem: [-1, 1]. A função é contínua. É alternadamente crescente e decrescente. É periódica de período 2. É simétrica com relação ao eixo vertical y (é uma função par). É limitada. O máximo absoluto é 1. O mínimo absoluto é -1. Não tem assíntotas horizontais.

13 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 13 Funções trigonométricas A função cosseno: Não tem assíntotas verticais. Comportamento nos extremos do domínio: não existem. Os valores da função oscilam de -1 até 1.

14 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 14 Funções trigonométricas A função tangente: Domínio: conjunto dos números reais sem os múltiplos ímpares de Imagem: conjunto de todos os números reais. A função é contínua sobre o seu domínio. É crescente em cada intervalo do domínio. É simétrica com relação à origem (é uma função ímpar). Não é limitada superior nem inferiormente. Não tem extremos locais.

15 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 15 Funções trigonométricas A função tangente: Não tem assíntotas horizontais. As assíntotas verticais são da forma para todo k ímpar. Comportamento nos extremos do domínio não existem. Os valores da função oscilam no intervalo ]–, + [.

16 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 16 Função cotangente A função cotangente é a recíproca da função tangente. Então: A cotangente tem assíntotas nos zeros da função seno e zeros nos zeros da função cosseno.

17 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 17 Função secante As características da função secante são concluídas a partir do fato de ela ser a recíproca da função cosseno.

18 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 18 Função cossecante Características da função cossecante são concluídas a partir do fato de ela ser a recíproca da função seno.

19 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 19 Arcos trigonométricos inversos Se você restringir o domínio de y = sen x ao intervalo como mostrado na figura abaixo (a), a função restrita é injetora. A inversa da função seno, y = sen 1 x, é a inversa dessa porção restrita da função seno, vista na figura abaixo (b).

20 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 20 Arcos trigonométricos inversos Função seno inverso (função arco-seno) O único ângulo y no intervalo tal que sen y = x é o seno inverso (ou arco-seno) de x, denotado sen 1 x ou arc sen x. O domínio de y = sen 1 x é [–1, 1], e a imagem é Figura a seguir: (a) A restrição de y = cos x é injetora e (b) tem uma inversa, y = cos -1 x.

21 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 21 Arcos trigonométricos inversos

22 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 22 Arcos trigonométricos inversos Função cosseno inverso (função arco-cosseno) O único ângulo y no intervalo [0, ], tal que cos y = x, é a inversa do cosseno (ou arco-cosseno) de x, denotada cos -1 x ou arc cos x. O domínio de y = cos -1 x é [–1, 1], e a imagem é [0, ]. Figura a seguir: A (a) restrição de y = tg x é injetora e (b) tem uma inversa, y = tg -1 x.

23 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 23 Arcos trigonométricos inversos

24 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 24 Arcos trigonométricos inversos Função tangente inversa (função arco-tangente) O único ângulo y no intervalotal que tg y = x, é a tangente inversa (ou arco-tangente) de x, denotado tg -1 x ou arc tg x. O domínio de y = tg -1 x é (, ), e a imagem é

25 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 25 Identidades fundamentais Identidades trigonométricas básicas Identidades recíprocas: Identidades de quociente:

26 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 26 Identidades pitagóricas A identidade fundamental da trigonometria: A partir dessa identidade, podemos deduzir as identidades pitagóricas. Se dividirmos cada termo da identidade por (cos x) 2, obtemos uma identidade que envolve tangente e secante:

27 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 27 Identidades pitagóricas Se dividirmos cada termo da identidade por (sen x) 2, obtemos uma identidade que envolve cotangente e cossecante: Identidades pitagóricas

28 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 28 Outras identidades úteis Identidades de cofunções Identidades de cofunções 2 paridade e imparidade

29 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 29 Soma e diferença de arcos Seno de uma soma ou diferença sen (u v) = sen u cos v cos u sen v Note que o sinal não troca em nenhum dos casos. Cosseno de uma soma ou diferença cos (u v) = cos u cos v sen u sen v Note a mudança de sinal nos dois casos.

30 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 30 Soma e diferença de arcos Tangente de uma soma ou diferença Existe também uma fórmula para tg (u v), que é escrita inteiramente em termos de funções tangente.

31 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 31 Arcos múltiplos Identidades de ângulo duplo

32 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 32 Arcos múltiplos Identidades de redução de potência

33 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 33 Arcos múltiplos Identidades de metade de ângulo

34 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 34 Lei dos senos Em qualquer ABC com ângulos A, B e C e lados opostos a, b e c, respectivamente, a equação a seguir é verdadeira: Resolução de triângulos (AAL, ALA) Dois ângulos e um lado de um triângulo, em qualquer ordem, determinam o tamanho e a forma de um triângulo. É claro, dois ângulos de um triângulo determinam o terceiro, assim, obtemos uma das três partes faltantes de graça. Resolvemos as duas partes restantes com a lei dos senos.

35 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 35 O caso ambíguo (LLA) Se o ângulo estiver incluído entre os dois lados (o caso LAL), então o triângulo será unicamente determinado a menos de congruência. Se o ângulo for oposto a um dos lados (o caso LLA), então poderão existir um, dois ou zero triângulos determinados. Lei dos cossenos Seja ABC qualquer triângulo com lados e ângulos indicados de modo usual. Então:

36 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 36 Área do triângulo TEOREMA Fórmula de Herão Sejam a, b e c os lados do ABC, e seja s o semiperímetro: então, a área de ABC é dada por


Carregar ppt "© 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 1 Capítulo 15 Noções de trigonometria e funções trigonométricas."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google