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Universidade Federal do Pará Instituo de Tecnologia Faculdade de Engenharia Civil Programa de Educação Tutorial Engenharia Civil – PETCIVIL Cálculo Zero.

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1 Universidade Federal do Pará Instituo de Tecnologia Faculdade de Engenharia Civil Programa de Educação Tutorial Engenharia Civil – PETCIVIL Cálculo Zero Trigonometria Ministrantes: Dion Cunha 8° Semestre Eng Civil João Felipe 3° Semestre Eng Civil

2 A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Da í vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim atrav é s do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos). τριγωνομετρία

3 Aristarco de Samos ( a.C.). Foi o primeiro defensor da ideia de que a Terra gira em torno do Sol (Modelo Heliocêntrico).Modelo Heliocêntrico Sobre os tamanhos e as distâncias do entre o Sol e a Lua é a sua única obra conhecida.SolLua

4 Qual era o problema? obter distâncias imposs í veis de serem calculadas por m é todos comuns, como a distância da Terra à Lua, o raio m é dio da terra, a largura de um rio, a altura de uma montanha, etc

5 E hoje? Por que devo estudar trigonometria?

6 Matem á tica Aplicada a Engenharia I e II Física Aplicada a Engenharia I e II – Mecânica Mecância dos S ó lidos - Est á tica dos Corpos R í gidos Mecânica dos Solos II – Crit é rios de Ruptura dos Solos / Mohr e Coulomb

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14 Bora começar, bora?

15 DEFINIÇÃO DE ÂNGULO Do latim - angulu (canto, esquina), do grego - gonas; reunião de duas semi-retas de mesma origem não colineares.

16 (gr.): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 400 partes iguais, a cada arco unitário que corresponde a 1/400 da circunferência denominamos de grado. GRADO

17 ( º ): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada arco unitário que corresponde a 1/360 da circunferência denominamos de grau. GRAU

18 A unidade RADIANO Uma maneira de medir arcos de uma circunferência é compará-los com um outro arco escolhido para ser unidade de medida sobre a mesma circunferência. Esse arco é chamado unitário. Veja o exemplo:

19 Quantas vezes o arco unitário u cabe no arco AB?

20 Basta fazer a razão entre o comprimento do arco AB e o comprimento do arco unitário.

21 RADIANO ( rad): Um radiano (1 rad) é um arco unitário cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência que o contém.

22 Vejamos um exemplo para esclarecer as coisas: Um arco AB de comprimento l está contido numa circunferência de raio r = 4 cm. Calcular a medida do arco AB em radianos, quando l for igual a : 8 cm, 14 cm e 21 cm.

23 Assim, decorre da definição, que a medida em radianos de uma arco AB é dada por:

24 Em cálculos, ângulos devem ser representados em radianos nas funções trigonométicas, dado que simplifica e torna as coisas mais naturais.funções trigonométicas Por exemplo, o uso de radianos leva à identidade com que é a base de muitas outras elegantes identidades em matemática, incluíndo

25 Trigonometria no Triângulo Retângulo a: hipotenusa b e c: catetos h: altura relativa a hipotenusa m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

26 Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. senÔ = o/a senÊ = e/a

27 Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. cosÊ = o/a cosÔ = e/a

28 Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. tgÊ = e/otgÔ = o/e

29 Observe: sen Ê = cos Ô, sem Ô = cos Ê e tg Ê = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90° Ê e Ô são ângulos completares Obs: Será usada na demonstração do seno da soma de dois arcos

30 Círculo, Ciclo, Circunferência Trigonométrica

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35 Definições

36 Reduções

37 O teorema de Pitágoras A área do quadrado cujo lado é a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos.

38 Demonstração A área do trapézio com bases a, b e altura a+b é igual à semi-soma das bases vezes a altura. Por outro lado, a mesma área é também igual à soma dos áreas dos três triângulos retângulos. James Abram Garfield, 1881

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45 cos(a - b) cos(a - b)=cosa.cosb + sena.senb

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47 cos(a + b)

48 Arcos Complementares

49 sen(a + b) e sen(a – b)

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52 Fórmulas do arco duplo

53 Fórmulas do arco metade

54 Transformação em produto

55 Funções Trigonométricas Inversas

56 Bibliografia Matemática 2° Grau Volume Único – Manoel Jairo Bezerra. Ed. Scipione Meu Professor de Matemática e outras histórias – Elon Lages Lima. SBM Estática – Mecânica para Engenharia 10ª Ed. R.C. HIBBELER. Ed. Pearson Prentice Hall Um Curso de Cálculo volume I. Hamilton Luiz Guidorizzi. LTC


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