CONTROLE II Prof. Samuel Bettoni 21/08/12.

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1 CONTROLE II Prof. Samuel Bettoni /08/12

2 Transformada Z A transformada Z é aplicada a sinais discretos ou sinais amostrados. Ex: Suponha que o seguinte sinal exponencial seja amostrado

3 Transformada Z Exemplo 1: Transformada Z: Expandindo o somatório:
Logo, a transformada Z de f(kT) é dada por:

4 Transformada Z Exemplo 2 – Seja o sinal amostrado y(kT):
Transformada Z de y(kT): ou

5 Relação entre Plano S e Plano Z

6 Relação entre Plano S e Plano Z
Para mostrarmos a relação entre os dois planos, considere um sinal amostrado e*(t). Aplicando-se a transformada de Laplace nesse sinal, obtém-se: Objetivos da instrução e resultados esperados e/ou habilidades desenvolvidas com o aprendizado.

7 Relação entre Plano S e Plano Z
Como o sinal e(kT) é constante dentro da transformada, temos: Pela propriedade da transformada de Laplace, uma função translada tem a seguinte transformada: Assim, (Propriedade da Transformada de Laplace)

8 Relação entre Plano S e Plano Z
A equação anterior torna-se a transformada de Laplace do sinal amostrado e*(t): Define-se a variável Z como Logo,

9 Relação entre Plano S e Plano Z

10 Relação entre Plano S e Plano Z
Como a transformada Z de um sinal discreto é a transformada de Laplace com a substituição da variável z = esT, isto implica que todos os pontos no plano S tem seu ponto correspondente no plano Z. Um ponto qualquer no plano S é dado por: Já no plano Z esse ponto será:

11 Relação entre Plano S e Plano Z
Eixo imaginário do Plano S: Eixo imaginário do Plano Z: Círculo Unitário

12 Relação entre Plano S e Plano Z
Semi-plano esquerdo no Plano S: Mapeamento no Plano Z: Região dentro do Círculo Unitário

13 Relação entre Plano S e Plano Z
Semi-plano direito do Plano S: Mapeamento no Plano Z: Região fora do Círculo Unitário

14 Relação entre Plano S e Plano Z

15 Resolução Equações de Diferenças

16 Resolução Equações de Diferenças
Existem 3 técnicas básicas para a resolução de equações de diferenças: Primeiro método: solução clássica Segundo método: procedimento sequêncial Terceiro método: Transformada Z

17 Resolução Equações de Diferenças
Técnica: Procedimento Sequêncial Exemplo 1: Deseja-se encontrar m(k) a partir da equação m(k) = e(k) – e(k-1) – m(k-1), sendo Solução

18 Resolução Equações de Diferenças
Técnica: Transformada Z Exemplo 2: Deseja-se encontrar m(k) a partir da equação m(k) = e(k) – e(k-1) – m(k-1). Solução Transformada Z da equação: Transformada Z de e(k):

19 Resolução Equações de Diferenças
Técnica: Transformada Z Exemplo 2: Deseja-se encontrar m(k) a partir da equação m(k) = e(k) – e(k-1) – m(k-1). Solução Transformada Z da equação:

20 Resolução Equações de Diferenças
Técnica: Transformada Z Exemplo 2: Deseja-se encontrar m(k) a partir da equação m(k) = e(k) – e(k-1) – m(k-1). Solução Podemos expandir M(z) em uma série de potência, dividindo o numerador pelo denominador (Método explicado mais a frente). Assim, M(z) será descrito por:

21 Transformada Z Inversa

22 Transformada Z Inversa
Para que a transformada Z se torne uma ferramenta útil na solução de uma equação de diferenças, é necessário o conhecimento de técnicas para obter a transformada Z inversa. As técnicas que utilizaremos serão: Método da Série de Potência Método da Expansão por Frações Parciais Método da Inversão Método da Convolução Discreta

23 Transformada Z Inversa
Método: Série de Potência Técnica utilizada para encontrar a transformada Z inversa de uma função E(z), na qual a série de potência E(z) = e0 + e1 z-1 + e2 z-2 + …, é obtida a partir de uma razão entre o numerador e o denominador de E(z).

24 Transformada Z Inversa
Método: Série de Potência Exemplo: Encontre os valores de e(k) sabendo que E(z) é dada pela função Solução Dividindo o numerador pelo denominador, encontraremos que