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CONTROLE II Prof. Samuel Bettoni 21/08/12. Transformada Z  A transformada Z é aplicada a sinais discretos ou sinais amostrados.  Ex: Suponha que o seguinte.

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1 CONTROLE II Prof. Samuel Bettoni 21/08/12

2 Transformada Z  A transformada Z é aplicada a sinais discretos ou sinais amostrados.  Ex: Suponha que o seguinte sinal exponencial seja amostrado

3 Transformada Z  Exemplo 1: Expandindo o somatório: Transformada Z: Logo, a transformada Z de f(kT) é dada por:

4 Transformada Z  Exemplo 2 – Seja o sinal amostrado y(kT): Transformada Z: Transformada Z de y(kT): ou

5 Relação entre Plano S e Plano Z

6  Para mostrarmos a relação entre os dois planos, considere um sinal amostrado e*(t).  Aplicando-se a transformada de Laplace nesse sinal, obtém-se:

7 Relação entre Plano S e Plano Z  Como o sinal e(kT) é constante dentro da transformada, temos:  Pela propriedade da transformada de Laplace, uma função translada tem a seguinte transformada:  Assim, (Propriedade da Transformada de Laplace)

8 Relação entre Plano S e Plano Z  A equação anterior torna-se a transformada de Laplace do sinal amostrado e*(t):  Define-se a variável Z como. Logo,

9 Relação entre Plano S e Plano Z

10  Como a transformada Z de um sinal discreto é a transformada de Laplace com a substituição da variável z = e sT, isto implica que todos os pontos no plano S tem seu ponto correspondente no plano Z.  Um ponto qualquer no plano S é dado por:  Já no plano Z esse ponto será:

11 Relação entre Plano S e Plano Z  Eixo imaginário do Plano S:  Eixo imaginário do Plano Z: Círculo Unitário

12 Relação entre Plano S e Plano Z  Semi-plano esquerdo no Plano S:  Mapeamento no Plano Z: Região dentro do Círculo Unitário

13 Relação entre Plano S e Plano Z  Semi-plano direito do Plano S:  Mapeamento no Plano Z: Região fora do Círculo Unitário

14 Relação entre Plano S e Plano Z

15 Resolução Equações de Diferenças

16  Existem 3 técnicas básicas para a resolução de equações de diferenças:  Primeiro método: solução clássica  Segundo método: procedimento sequêncial  Terceiro método: Transformada Z

17 Resolução Equações de Diferenças  Técnica: Procedimento Sequêncial  Exemplo 1: Deseja-se encontrar m(k) a partir da equação m(k) = e(k) – e(k-1) – m(k-1), sendo Solução

18 Resolução Equações de Diferenças  Técnica: Transformada Z  Exemplo 2: Deseja-se encontrar m(k) a partir da equação m(k) = e(k) – e(k-1) – m(k-1). Solução Transformada Z da equação: Transformada Z de e(k):

19 Resolução Equações de Diferenças  Técnica: Transformada Z  Exemplo 2: Deseja-se encontrar m(k) a partir da equação m(k) = e(k) – e(k-1) – m(k-1). Solução Transformada Z da equação:

20 Resolução Equações de Diferenças  Técnica: Transformada Z  Exemplo 2: Deseja-se encontrar m(k) a partir da equação m(k) = e(k) – e(k-1) – m(k-1). Solução Podemos expandir M(z) em uma série de potência, dividindo o numerador pelo denominador (Método explicado mais a frente). Assim, M(z) será descrito por:

21 Transformada Z Inversa

22  Para que a transformada Z se torne uma ferramenta útil na solução de uma equação de diferenças, é necessário o conhecimento de técnicas para obter a transformada Z inversa.  As técnicas que utilizaremos serão:  Método da Série de Potência  Método da Expansão por Frações Parciais  Método da Inversão  Método da Convolução Discreta

23 Transformada Z Inversa  Método: Série de Potência  Técnica utilizada para encontrar a transformada Z inversa de uma função E(z), na qual a série de potência E(z) = e 0 + e 1 z -1 + e 2 z -2 + …, é obtida a partir de uma razão entre o numerador e o denominador de E(z).

24 Transformada Z Inversa  Método: Série de Potência  Exemplo: Encontre os valores de e(k) sabendo que E(z) é dada pela função Solução Dividindo o numerador pelo denominador, encontraremos que


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