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APLICAÇÕES DE FT Prof. Marcelo de Oliveira Rosa. Aplicações de FT  Resposta em Freqüência  Analisar o comportamento de um sistema no domínio da freqüência.

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1 APLICAÇÕES DE FT Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

2 Aplicações de FT  Resposta em Freqüência  Analisar o comportamento de um sistema no domínio da freqüência Convolução no tempo  Modulação em freqüência  Propriedades usadas Comutação/cascata Distribuição/paralelismo

3 Aplicações de FT  Resposta em freqüência  Filtros Conseqüência natural da convolução temporal Modulação espectral Conceitualmente amplifica atenua faixas de freqüência Dispositivo que amplifica a potência de algumas faixas de freqüência e atenua a potência de outras faixas de freqüência para um sinal de entrada

4 Aplicações de FT  Filtros  Classificação padrão Passa-baixas Passa-baixas (low-pass) Passa-altas Passa-altas (high-pass) Passa-bandas Passa-bandas (band-pass) Rejeita-bandas Rejeita-bandas (band-stop)  Outros Passa-tudo (all-pass) Notch (notch) Equalizador (equalizer)

5 Aplicações de FT  Filtros ideais  Elementos de um filtro Banda passante Banda de rejeição  Filtro ideal Componentes da banda passante não sofrem distorção |H(jΩ)| = 1 na banda passante

6 Aplicações de FT  Filtros ideais  Filtros passa-baixa (LP) e passa-alta (HP) Com fase linear ΩcΩc ΩcΩc

7 Aplicações de FT  Filtros ideais  Filtros passa-banda e rejeita banda Com fase linear ΩHΩH ΩHΩH ΩLΩL ΩLΩL

8 Aplicações de FT  Filtros ideais  O mais desejado  Fase zero Não causal Não causal  Segundo mais desejado  Fase linear Segundo mais desejado Não causal Pode ser aproximado por truncamento  Filtro ideal = filtro irrealizável

9 Aplicações de FT  Filtros ideais  Resposta ao impulso  h(t) Fase zero e fase linear

10 Aplicações de FT  Filtros ideais  Resposta ao impulso  h(t) Fase zero e fase linear

11 Aplicações de FT  Filtros  Passa-baixa (LP) até Ω c Mantém as componentes espectrais (sem distorção) do sinal até Ω c e elimina as demais componentes Exemplo de primeira ordem ∫ ΩcΩc ΩcΩc y(t) + – x(t)

12 Aplicações de FT  Filtros  Passa-alta (HP) acima de Ω c Mantém as componentes espectrais (sem distorção) do sinal acima de Ω c e elimina as demais componentes Exemplo de primeira ordem ∫ ΩcΩc y(t) + – x(t)

13 Aplicações de FT  Filtros  Passa-banda entre Ω ca e Ω cb Mantém as componentes espectrais (sem distorção) do sinal entre Ω ca e Ω cb, e elimina as demais componentes Exemplo de combinando HP  LP Ω ca > Ω cb ∫ Ω cb y(t) + – ∫ Ω ca + – x(t)

14 Aplicações de FT  Filtros  Rejeita-banda Elimina entre Ω ca e Ω cb mantém Elimina as componentes espectrais (sem distorção) do sinal entre Ω ca e Ω cb, e mantém as demais Exemplo de combinando HP e LP em paralelo ∫ ΩcΩc ΩcΩc y(t) + – ΩcΩc + – x(t) ∫ +

15 Aplicações de FT  Filtros  Passa-baixa (LP)

16 Aplicações de FT  Filtros  Passa-alta (HP)

17 Aplicações de FT  Filtros  Passa-banda

18 Aplicações de FT  Filtros  Rejeita-banda

19 Aplicações de FT  Filtros  Equalizador via Biquadrática A equalização compreende a manipulação diversos blocos de freqüência em um intervalo total específico. Manipulação  atenuação ou amplificação Seleção dos blocos  seletividade dos filtro

20 Aplicações de FT  Filtros  Equalizador via Biquadrática A função biquadrática possui dois parâmetros Ω 0 e β Amplifica/atenua um conjunto de componentes espectrais ao redor de Ω 0 largura de banda β controla a largura de banda e a amplificação/atenuação

21 Aplicações de FT  Filtros  Equalizador via Biquadrática

22 Aplicações de FT  Filtros  Equalizador via Biquadrática

23 Aplicações de FT  Filtros  Equalizador via Biquadrática Ω em escala log e linear

24 Aplicações de FT  Filtros  Equalizador via Biquadrática Q-constante Q = F 0 / ΔF = Ω 0 / ΔΩ No caso, aumentando-se Ω 0, aumenta-se ΔΩ Notações F0  freqüência central ΔΩ  largura de banda

25 Aplicações de FT  Filtros  Largura de banda Bandwidth (BW) Modo para representar um intervalo de freqüências positivas Restringe-se a freqüências positivas Razões históricas

26 Aplicações de FT  Filtros  Largura de banda Tipos: Largura de banda absoluta Intervalo de freqüências com magnitude não-nula Largura de banda nula Intervalo de freqüências com magnitude não-nula máximo Largura de banda em meia potência Largura de banda em meia potência Intervalo de freqüências com magnitude superior a metade da potência máxima

27 Aplicações de FT  Filtros reais teóricos passa-baixa  Filtro passa-baixa realizável

28 Aplicações de FT  Filtros reais teóricos passa-alta  Filtro passa-alta realizável

29 Aplicações de FT  Filtros reais teóricos passa-banda  Filtro passa-banda realizável

30 Aplicações de FT  Filtros reais teóricos rejeita-banda  Filtro rejeita-banda realizável

31 Aplicações de FT  Exemplos  Usando componentes RLC  Usando componentes mecânicos

32 Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Considere os seguintes filtros  Qual a sua resposta em freqüência?

33 Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Resposta em freqüência obtida

34 Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Resposta em freqüência obtida

35 Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Resposta em freqüência obtida Sistemas distintos podem apresentar similaridade gráfica em suas respostas em freqüência Alterando escala (Linear  logarítmica) Melhorar distinção entre sistemas Análise rápida de sistemas Diagrama de Bode Diagrama de Bode

36 Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Decibel  Decibel (dB) Razão entre potências de sinais Um dos sinais serve de referência P sinal  potência de um sinal qualquer P referência  potência de referência Se não conhecida, assumimo P referência = 1

37 Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Decibel (dB) P dB = +3 dB P sinal = 2 P referência  P dB = +3 dB P dB = -3 dB P sinal = 0,5 P referência  P dB = -3 dB P sinal = 10 P referência  P dB = +10 dB P sinal = 0,1 P referência  P dB = –10 dB P sinal = 100 P referência  P dB = +20 dB P sinal = 0,01 P referência  P dB = –20 dB

38 Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Oitava 2 Freqüência atual = 2  Freqüência de referência  Década 10 Freqüência atual = 10  Freqüência de referência

39 Aplicações de FT  Diagrama de Bode teorema de Parseval  Do teorema de Parseval  Então, a magnitude de X(jΩ) em dB é

40 Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Como utilizar em sistemas contínuos? Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

41 Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes Após a aplicação da FT zeros z l  zeros de H(jΩ) pólos p k  pólos de H(jΩ)

42 Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Análise de H(jΩ) = (1 – jΩ/p k ) -1 negativo Pólo real negativo único (sem repetição)

43 Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Análise de H(jΩ) = (1 – jΩ/p k ) -1 positivo se existisse Pólo real positivo único (sem repetição) – se existisse

44 Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Análise de H(jΩ) = (1 – jΩ/z l ) negativo Zero real negativo único (sem repetição)

45 Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Análise de H(jΩ) = (1 – jΩ/z l ) positivo Zero real positivo único (sem repetição)

46 Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Características: freqüência de quebra Pólo e Zero definem freqüência de quebra Curva de magnitude Encontro de duas assíntotas na freqüência de quebra Uma das assíntotas possui inclinações (“roll-off”) ±6 dB/oitava ±20 dB/década Curva de fase Assíntota passa por ±π/4 em freqüência de quebra

47 Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Diferenciador e Integrador jΩ = zero Zero e Pólo em jΩ = zero

48 Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Ganho constante (em freqüência) H(jΩ) = +A Magnitude  A Fase  zero H(jΩ) = –A Magnitude  A Fase  +π (ou –π)

49 Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Pares complexos de pólos p 1 e p 1 *, naturalmente conjugados complexos

50 Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Pares complexos de zeros z 1 e z 1 *, naturalmente conjugados complexos

51 Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Pares complexos de pólos e zeros Transformação em ζ e ω n “Overshoot” Amortecimento e tempo de decaimento

52 Aplicações de FT  Exemplos

53 Aplicações de FT  Exemplos  Usando amplificadores operacionais

54 Aplicações de FT  Exemplos  Sistemas de comunicação Processo para transmissão de múltiplos sinais de banda base em vários canais de comunicação Sinal de banda base Ineficiência para transmissão direta Comunicação Caminhos distintos para sinais distintos

55 Aplicações de FT  Exemplos  Sistemas de comunicação Modulação DSB-SC y(t) = x(t) cos(Ω p t) y(t)  sinal modulado Mensagem ou sinal banda-base cos(Ω p t)  sinal cuja envoltória carrega a mensagem x(t)  sinal a ser transmitido Ω p  freqüência da portadora Ω p > 2  maior freqüência com amplitude não nula

56 Aplicações de FT  Exemplos  Sistemas de comunicação Modulação DSB-SC Aplicando a TF, temos Modulação no tempo  convolução na freqüência

57 Aplicações de FT  Exemplos  Sistemas de comunicação Modulação DSB-SC

58 Aplicações de FT  Exemplos  Sistemas de comunicação – Modulação Demodulação DSB-SC x’(t) = [y(t) cos(Ω p t)] * [filtro passa-baixa] x’(t)  sinal reconstruído x’(t) = m(t) restrita Largura de banda de m(t) deve ser restrita Permitir que o filtro passa-baixa isole a mensagem desejada. Sinal da portadora não é transmitido Sinal da portadora não é transmitido

59 Aplicações de FT  Exemplos  Sistemas de comunicação Demodulação DSB-SC

60 Aplicações de FT  Exemplos  Sistemas de comunicação Modulação DSB-TC Transmissão de informação relativa à portadora detectores de envoltória Permite o uso de circuitos detectores de envoltória m/K < 1

61 Aplicações de FT  Exemplos  Amostragem por Impulso isolando amostras Corresponde a um trem de impulsos isolando amostras de x(t) a cada kT s segundos.

62 Aplicações de FT  Exemplos  Amostragem por Impulso réplicas Sua FT é a repetição de réplicas de X(Ω) a intervalos de Ω s radianos/seg.

63 Aplicações de FT  Exemplo  Amostragem por Impulso Teorema da amostragem (Teorema de Nyquist) freqüência máxima com amplitude não-nula Ω m (= 2π f m ) Para que haja reconstrução correta do sinal original com freqüência máxima com amplitude não-nula Ω m (= 2π f m ), a amostragem deve ser de no mínimo Ω s (= 2π f s ) igual a 2 Ω m (ou 2 f m )

64 Aplicações de FT  Exemplo  Amostragem por Impulso Aliasing Espalhamento de informações de alta-freqüência sobre informações de baixa-freqüência devido a problemas de amostragem

65 Aplicações de FT  Exemplos  Amostragem por Impulso A reconstrução se dá a partir de um filtro passa-baixas com ganho T s e freqüência de corte Ω s /2 Reconstrução ideal Impraticável Na prática, filtros passa-baixas aproximados


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