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Problema: Sejam v 1, v 2,...,v n e b vectores de R m. Consegue-se obter b como soma de múltiplos de v 1, v 2,...,v n ? Exemplos: 1)v 1 =(1,0), v 2 =(0,0)

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Apresentação em tema: "Problema: Sejam v 1, v 2,...,v n e b vectores de R m. Consegue-se obter b como soma de múltiplos de v 1, v 2,...,v n ? Exemplos: 1)v 1 =(1,0), v 2 =(0,0)"— Transcrição da apresentação:

1 Problema: Sejam v 1, v 2,...,v n e b vectores de R m. Consegue-se obter b como soma de múltiplos de v 1, v 2,...,v n ? Exemplos: 1)v 1 =(1,0), v 2 =(0,0) e b=(0,1)

2 2)v 1 =(1,2), v 2 =(0,1) e b=(1,0)

3 3)v 1 =(1,2), v 2 =(0,1), v 3 =(-1,1) e b=(1,0)

4 Sejam v 1, v 2,...,v n e b vectores de R m. Diz-se que b é combinação linear de v 1, v 2,...,v n se b se escrever como soma de múltiplos destes vectores se o sistema Ax=b for possível em que A=[v 1 v 2...v n ]. Diz-se que b é combinação linear dos vectores v 1, v 2,...,v n ou das colunas da matriz A=[v 1 v 2...v n ]. Observação: Ax=b é impossível quando na matriz em escada A´|b´ a coluna b´ tem pivot.

5 Problema: Sejam v 1, v 2,...,v n vectores de R m. Quais são os vectores de R m que são combinação linear de v 1, v 2,...,v n ? Exemplos: 1)v 1 =(1,0), v 2 =(0,0)

6 2)v 1 =(1,2), v 2 =(0,1)

7 3)v 1 =(1,2,-1), v 2 =(6,4,2)

8 Chama-se espaço gerado pelos vectores v 1, v 2,...,v n de R m ao conjunto dos vectores de R m que são combinação linear de v 1, v 2,...,v n Também se diz que é o espaço gerado pelas colunas da matriz A=[v 1 v 2...v n ], espaço das colunas de A ou C(A).

9 Determinação de =C(A) em que A=[v 1 v 2...v n ] e v 1 v 2...v n 1.Constrói-se A|b. 2.Aplica-se a fase descendente do método de Gauss a A|b. Seja A´|b´ a matriz em escada resultante. 3. Se A´ não tem linhas nulas, (O sistema Ax=b é possível 4. Caso contrário, se i é linha nula de A´, tem-se a restrição b´ i =0. Nota: quando A′ tem linhas nulas, o algoritmo identifica C(A) com o espaço nulo de uma matriz com m colunas e tantas linhas quantas as linhas nulas de A′.

10 Exemplos: 1) = 2) = R 2 3) =

11 Exercício: Sejam v 1 =(0,0,1), v 2 =(0,1,1), v 3 =(0,2,1) e b=(1,0,0). 1)Determine E=. 2)Verifique que v 3 é combinação linear de v 1 e v 2. 3)Determine.

12 v 1 =(0,0,1), v 2 =(0,1,1) e b=(1,0,0) 4)Verifique que b não é combinação linear de v 1 e v 2. 5)Determine F=.

13 Um conjunto {v 1, v 2,...,v n } de vectores de R m diz-se linearmente independente se nenhum dos vectores é combinação linear dos outros. Se {v 1, v 2,...,v n } não é linearmente independente diz-se linearmente dependente. Observação: {v 1 } diz-se linearmente independente se v 1 ≠0. Caso contrário, diz-se linearmente dependente. Exemplos: 1) {(0,0),(1,1)} é l.d.: (0,0)=0(1,1). Repare que (1,1) não é comb. l. de (0,0). 2) {(0,1),(1,1),(1,0)} é l.d.: (1,1)=1(1,0)+1(0,1).

14 3) V={v 1,v 2,v 3,v 4 } em que v 1 =(1,0,1,1), v 2 =(0,1,2,1), v 3 = (2,-1,0,1), v 4 =(0,0,3,3). v 3 é c.l. de v 1 e v 2, logo de v 1, v 2 e v 4 Como existem colunas sem pivot na matriz em escada resultante de A=[v 1 v 2 v 3 v 4 ], V é linearmente dependente.

15 4) V={v 1,v 2,v 4 } em que v 1 =(1,0,1,1), v 2 =(0,1,2,1), v 4 =(0,0,3,3). v 4 não é c.l. de v 1 e v 2 v 2 não é c.l. de v 1 A troca de colunas na matriz inicial não altera o nº de pivots na matriz em escada resultante. v 2 não é c.l. de v 1 e v 4 v 1 não é c.l. de v 2 e v 4 Como na matriz em escada resultante de A=[v 1 v 2 v 4 ] todas as colunas têm pivot, V é linearmente independente.

16 Considere, por exemplo, o sistema homogéneo Ax=0. Geometricamente, é a intersecção de 4 planos que passam na origem de R 3. Se trocarmos duas colunas em A, continuamos a ter a intersecção dos mesmos 4 planos e, portanto, o conjunto das soluções é o mesmo. A troca de colunas na matriz inicial A=[v1 v2 v4] não altera o nº de pivots na matriz em escada resultante.

17 Sejam V = {v 1, v 2,...,v n } e V é linearmente independente Todas as colunas da matriz em escada que resulta de A têm pivot O sistema homogéneo Ax=0 é determinado Chama-se característica de A, car A, ao nº de colunas pivot de A´. car A corresponde ao número máximo de vectores linearmente independentes de V.

18 Nota: um conjunto de n vectores de R m com n > m é linearmente dependente. (O sistema A mxn x = 0 é indeterminado com n > m.)


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