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Teorema de Laplace Exemplos e fórmula para o cálculo da matriz inversa.

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1 Teorema de Laplace Exemplos e fórmula para o cálculo da matriz inversa.

2 Pré-requisitos. Submatriz : Sendo M quadrada, a submatriz, chamada de M ij é a matriz obtida da matriz M, RETIRANDO DESTA A LINHA i E A COLUNA j. Cada elemento possui uma submatriz associada. Exemplo:

3 Determinante das submatrizes. det M ij = D ij

4 A cada elemento a ij podemos definir: A ij = (  1) i+j.D ij Exemplos: A 11 = (  1 ) 1+1 D 11 = (+1)(  3) =  3 A 12 = (  1 ) 1+2 D 12 = (  1 )(  6 ) = + 6 A 13 = (  1 ) 1+3 D 13 = (+1)(  3 ) =  3 Quando muda o sinal? Quando não muda? Cofatores. i+j é impar i+j é par

5 Teorema de Laplace Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, escolhemos arbitrariamente uma de suas filas (linha ou coluna). O DETERMINANTE DA MATRIZ É A SOMA DOS PRODUTOS DOS ELEMENTOS DESSA FILA PELOS SEUS RESPECTIVOS COFATORES.

6 Exemplo A escolha da fila não afeta o resultado do determinante, mas a escolha deve ser inteligente. Escolha:1 ª linha. A 11 =  3A 12 = + 6A 13 =  3 detM = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 detM = 1.(  3) (  1)(  3) = 12 Resolva de novo por regra de Sarrus.

7 Exemplo Escolha: 2ª coluna. detA = a 12 A 12 +a 22 A 22 +a 32 A 32 +a 42 A 42 detA = 0.A 12 +(  2)A 22 +0A 32 +0A 42 detA = (  2)A 22 A 22 = (  1 ) 2+2. =  detA= (  2 )(  1 83) = 366

8 Matriz inversa de ordem 3. Onde: A ij é o cofator do elemento a ij.

9 A 11 = (  1) 1+1. =  3 A 12 = (  1) 1+2. = (  1)(  9) = 9 A 13 = (  1) 1+3. =  1 A 21 = (  1) 2+1. = (  1)(  2)= 2 A 22 = (  1) 2+2. = 1(  6) =  6 A 23 = (  1) 2+3. = (  1)1=  1Exemplo  5 5  3 3 9  1 1 2  6 6  1 1 A 31 = (  1) 3+1. = 1(  2)=  2 A 32 = (  1) 3+2. = (  1)(  1) = 1 A 33 = (  1) 3+3. = 1.1= 1  2 2 1 1


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