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PROGRESSÃO ARITMÉTICA PROF. MOACIR. 28) Dois ciclistas estão em fases distintas de preparação. O técnico desses atletas elabora um planejamento de treinamento.

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1 PROGRESSÃO ARITMÉTICA PROF. MOACIR

2 28) Dois ciclistas estão em fases distintas de preparação. O técnico desses atletas elabora um planejamento de treinamento para ambos, estabelecendo o seguinte esquema: ciclista 1: iniciar o treinamento com 4 km de percurso e aumentar, a cada dia, 3 km a mais para serem percorridos; ciclista 2: iniciar o treinamento com 25 km de percurso e aumentar, a cada dia, 2 km a mais para serem percorridos. Sabendo-se que esses ciclistas iniciam o treinamento no mesmo dia e que o término desse treinamento se dá quando os atletas percorrem a mesma distância em um mesmo dia, pode-se afirmar que ao final do treinamento o ciclista 1 percorre uma distância total, em km, de: a) 781 b) 714 c) 848 d) 915 e) 1012.

3 30) Duas pequenas fábricas de calçados, A e B, têm fabricado, respectivamente, 3000 e 1100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares por mês, a produção da fábrica B superará a produção de A a partir de a)março b)maio c)julho d)setembro e)novembro. A produção de A a partir de janeiro pode ser escrita como An = (n - 1)70 E a produção de B a partir de janeiro pode ser escrita como Bn = (n - 1)290 Para a produção de B superar a de A, deve-se passar n meses: (n - 1)290 = (n - 1)70 »» n = n - 70 »» 220n = 1900 »» n = 8,636 meses O mês de setembro é 9 n = 9

4 31) Usando-se um conta-gotas, um produto químico é misturado a uma quantidade de água da seguinte forma: a mistura é feita em intervalos regulares, sendo que no primeiro intervalo são colocadas 4 gotas e nos intervalos seguintes são colocadas 4 gotas mais a quantidade misturada no intervalo anterior. Sabendo-se que no último intervalo o número de gotas é 100, o total de gotas do produto misturadas à água é: a) 1300 b) 1100 c) 1600 d) 900 e) 1200 Trata-se de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 4 e o último termo é 100, cuja razão é 4. Na fórmula da soma da Pa. temos : S=(a1+an)n/2 Calculando-se o número de termos temos: an=a1+(n-1)r onde 100=4+(n-1)4 96/4=n-1 n=25 Substituindo-se n por 25 na fórmula da soma temos S=(4+100)25/2=1300. Resposta a

5 32) Uma empresa madeireira, ao desmatar uma floresta, seguia este cronograma: - no primeiro dia - uma árvore derrubada; - no segundo dia - duas árvores derrubadas; - no terceiro dia - três árvores derrubadas e, assim, sucessivamente. Para compensar tal desmatamento, foi criada uma norma na qual se estabelecia que seriam plantadas árvores segundo a expressão P=2D-1, sendo P o número de árvores plantadas e D o número de árvores derrubadas a cada dia pela empresa. Quando o total de árvores derrubadas chegar a 1275, o total de árvores plantadas, de acordo com a norma estabelecida, será equivalente a a) 2400 b) c) d) e) 2800.

6 Nesta questão devemos prestar a atenção nessa equação: P = 2D - 1. Assim formamos duas PAs: Como a cada dia são derrubadas uma árvore a mais que no dia anterior então temos a primeira PA: PA( 1, 2,,3... n), cuja razão = 1 Como a cada dia são plantadas novas árvores de acordo com a expressão: P = 2D - 1, então: para 1 arvore cortada são plantadas = 1 árvore para 2 arvores cortadas são plantadas = 3 árvores para 3 arvores cortadas são plantadas = 5 árvores Assim, formamos a seguinte PA de árvores PLANTADAS: PA(1, 3, 5... n) Basta agora calcularmos a soma dos n termos da primeira PA para sabermos o n para usar na segunda PA: como a razão = 1 então: an = n S = n(a1 + an)/ 2 S = n(a1 + n)/ = n(1 + n) /2 n² + n = 2250 n² - n = 0 (Resolvemos a equação de 2º grau) ∆ = (-1)² - 4. (- 2450) ∆ = 9801 Aplicando a fórmula de Bhaskara temos: x = -( -1 ) +- raiz de 9801 / 2. 1 x = / 2 x1 = 50 e x2 = -49 ( Como só serve valores positivos então usamos x = 50) Agora basta encontrarmos a Soma dos 50 primeiros termos da segunda PA (1,3,5... n): calculamos o 50º termo: an = a1 + (n-1).r a50 = a50 = 99 Logo: S = n(a1 + an) / 2 S = 50 (1 + 99) / 2 S = 5000 / 2 S = 2500 Foram plantadas em 50 dias 2500 árvores Alternativa b

7 33) Eddie Sortudo não deseja contar com a sorte e espera ganhar um pouco de tempo, acreditando que a munição do inimigo acabe. Suponha então que, a partir do primeiro número falado por Eddie, ele dirá, cada um dos demais, exatamente 3 segundos após ter falado o anterior, até que chegue ao número determinado pelo seu comandante. Assim, com sua estratégia, Eddie conseguirá ganhar um tempo, em segundos, igual a: a) 177 b) 188 c) 237 d) 240 e) 300 Eddie Sortudo conta 80 números, para cada número a partir do 2º número contado ele ganha 3 segundos então: 79 x 3 = 237 segundos Resposta: item C

8 34) Um agricultor estava perdendo a sua plantação, em virtude da ação de uma praga. Ao consultar um especialista, foi orientado para que pulverizasse, uma vez ao dia, uma determinada quantidade de um certo produto, todos os dias, da seguinte maneira: primeiro dia: 1,0 litro; segundo dia: 1,2 litros; terceiro dia: 1,4 litros;... e assim sucessivamente. Sabendo-se que o total de produto pulverizado foi de 63 litros, o número de dias de duração deste tratamento nesta plantação foi de: a) 21 b) 22 c) 25 d) 27 e) 30

9 Vamos lá: 1º dia: 1 L 2º dia: 1,2 L 3º dia: 1,4 L.... an = 63 litros. Portanto, é uma P.A de razão 0,2, sendo a1 = 1, a2 = 1,2, a3 = 1,4,.... calculando o an. an = a1 + (n - 1).r an = 1 + (n - 1). 0,2 an = 1 + 0,2n - 0,2 an = 0,8 + 0,2n Então, calculando a soma, obtemos: an = (a1 + an).n / 2 63 = (1 + 0,8 + 0,2n).n / = (1 + 0,8 + 0,2n).n 126 = (1,8 + 0,2n)n 126 = 1,8n + 0,2n² 0,2n² + 1,8n = (multiplica ambos membros por 5) n² + 9n = 0 ( Δ = b² - 4ac = 9² (-630) = = 2601) x = (-b ± √ Δ )/2ª x = (-9 ± √2601)/2 x =( - 9 ± 51)/2 x' = ( )/2 = 42/2 = 21 x" = ( )/2 = -60/2 (desconsiderada) Logo, será gastos 21 dias. Alternativa A.

10 38) Em 05 de junho de 2004, foi inaugurada uma pizzaria que só abre aos sábados. No dia da inauguração, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir daí, o número de fregueses que passaram a frequentar a pizzaria cresceu em progressão aritmética de razão 6, até que atingiu a cota máxima de 136 pessoas, a qual tem se mantido. O número de sábados que se passaram, excluindo-se o sábado de inauguração, para que a cota máxima de fregueses fosse atingida pela primeira vez, foi: a) 15. b) 16. c) 17. d) 18. e) 26. PA ---> a1= an= 136 razão R= 6 an= a1+(n-1).R 136 = 40 +(n-1).6 n-1= 16 n= 17 sábados incluindo a inauguração logo passaram 17-1 = 16 sábados.

11 40) Num laboratório, foi feito um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. Ao final de um minuto do início das observações, existia 1 elemento na população; ao final de dois minutos, existiam 5, e assim por diante. A seguinte sequência de figuras apresenta as populações do vírus (representado por um círculo) ao final de cada um dos quatro primeiros minutos. Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento da população, o número de vírus no final de 1 hora era de: a) 241. b) 238. c) 237. d) 233. e) 232. Solução. A sequência (1, 5, 9, 13,...) indica as populações do vírus ao final de cada minuto. Em uma hora há 60 minutos. Logo, devemos calcular o termo a 60. a 1 = 2 r = 4 a 60 = ? a n = a 1 + (n – 1). r a 60 = a r a 60 = a 60 = a 60 = 237

12 42) As quantias, em reais, de cinco pessoas estão em progressão aritmética. Se a segunda e a quinta possuem, respectivamente, R$ 250,00 e R$ 400,00, a primeira possui a) R$200,00 b) R$180,00 c) R$150,00 d) R$120,00 e)R$ 100,00 Lembrando as fórmulas de PA an = a1 + (n - 1)r Para achar a razão a2 = a1 + r a3 = a1 + 2r No enunciado do problema temos o a2 e a5, mas não temos a razão, mas podemos acha-la somente com esses dados, assim: a2 = 250 a5 = 400 a5 = a2 + 3r 400 = r 3r = 400 – 250 3r = 150 r = 50 Então agora vamos achar a quantia da primeira pessoa, assim: a2 = a1 + r 250 = a a1 = 250 – 50 a1 = 200 Portanto a primeira possui R$ 200,00 Alternativa "a"


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