A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

1 BCC101 – Matemática Discreta Demonstração de Teoremas Prova por contradição.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "1 BCC101 – Matemática Discreta Demonstração de Teoremas Prova por contradição."— Transcrição da apresentação:

1 1 BCC101 – Matemática Discreta Demonstração de Teoremas Prova por contradição

2 2 Mais estratégias de prova  Teorema: Se a e b são números inteiros, então a 2 – 4b ≠ 2.  Quais são as hipóteses?  Qual é a conclusão?  Que estratégia podemos usar para provar o teorema?

3 3 Prova por contradição  Suponha que queremos provar uma conclusão C. A idéia de uma prova por contradição é supor que a conclusão a ser provada é falsa, isto é, supor ¬C, e mostrar que essa suposição nos leva a uma contradição.

4 4 Prova por contradição  Teorema: se a,b ∈ Z então a 2 -4b≠2 Prova: Suponha, por contradição, que a 2 -4b=2. Então a 2 = 2+4b = 2(1+2b), ou seja a 2 é par Portanto, a é par, ou seja, a = 2k, p/ algum k ∈ Z. Substituindo a por 2k na equação acima: (2k) 2 = 2(1+2b) => 4k 2 = 2 (1+2b) Dividindo ambos os lados por 2: 2k 2 = 1+2b => 1 = 2b – 2k 2 = 2(b-k 2 ) Como b,k ∈ Z, isso significa que 1 é par- absurdo! Portanto a 2 -4b≠2.

5 5 Prova por contradição – outro exemplo  Um número real x é racional se x=a/b, para algum a ∈ Z e b ∈ Z, b≠0 x é irracional, se ele não é racional.  Teorema: √2 é um número irracional  Quais são as hipóteses?  Qual é a conclusão?  Que estratégia podemos usar para provar o teorema?

6 6  Teorema: √2 é um número irracional Prova: Suponha, por contradição, que √2 é racional, isto é, √2 =a/b, para a,b ∈ Z, b≠0. Podemos supor, sem perda de generalidade, que a e b são primos entre si -- mdc(a,b)=1. Temos: (a/b) 2 =(√2) 2 =2 ⇒ a 2 =2b 2, ou seja a 2 é par Portanto, a é par, i.e., a=2k, para algum k ∈ Z. Então b 2 =a 2 /2=(2k) 2 /2=2k 2, ou seja, b 2 é par Portanto, b é par. Mas isso contradiz o fato de que a e b são primos entre si. Portanto, concluimos que √2 é irracional

7 7 Prova por contradição - outro exemplo  Teorema: O conjunto dos números primos é infinito.  Quais são as hipóteses?  Qual é a conclusão?  Como pode ser expressa a negação dessa conclusão?  Como podemos obter uma contradição, a partir da negação da conclusão?

8 Exercícios  Prove que a soma de um número racional e um número irracional é um número irracional  Prove que o conjunto dos números pares é infinito  Sejam a e b inteiros. Então a 2 -4b≠2 8


Carregar ppt "1 BCC101 – Matemática Discreta Demonstração de Teoremas Prova por contradição."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google