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GEOGEBRA NA SALA DE AULA Instrutores: Rodrigo Mendes (DMAT/UFPE) e Hugo Leonardo (DM/UFRPE). Coordenador do projeto: George Valença (DEINFO/UFRPE). Agosto/2014.

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1 GEOGEBRA NA SALA DE AULA Instrutores: Rodrigo Mendes (DMAT/UFPE) e Hugo Leonardo (DM/UFRPE). Coordenador do projeto: George Valença (DEINFO/UFRPE). Agosto/2014

2 Introdução

3 Geogebra é um aplicativo de matemática que combina conceitos de geometria e álgebra em uma única interface. Sua distribuição é livre (download e uso gratuitos). Como projeto, foi iniciado em 2001 com o objetivo de ser utilizado em ambiente de sala de aula.

4 Ele permite realizar construções geométricas com pontos, retas, segmentos, polígonos, etc., assim como inserir funções e alterar esses objetos dinamicamente. Equações e coordenadas também podem ser diretamente inseridas. Assim, o Geogebra reúne as ferramentas tradicionais de geometria com outras mais adequadas à álgebra e ao cálculo. Fonte:

5 Elementos básicos

6 Tela inicial

7 1. Menus

8 2. Visualização Aqui o usuário pode visualizar os objetos criados no Geogebra.

9 2. Visualização Além da janela de visualização inicial, existem outros tipos que podem ser acessados (i) na barra lateral à extrema direita ou (ii) na barra de menus.

10 3. Barra de ferramentas Grupos de objetos e ações disponíveis.

11 3. Barra de ferramentas

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14 Daremos ênfase aos seguintes recursos: 3. Barra de ferramentas

15 Daremos ênfase aos seguintes recursos: 3. Barra de ferramentas

16 4. Campo de entrada Aqui podemos definir objetos como funções e pontos, além de realizar comandos algébricos. Clicando no botão com a letra alfa, é possível inserir símbolos matemáticos.

17 5. Janela de Álgebra Nessa janela, podem ser visualizadas fórmulas e objetos matemáticos inseridos no campo de visualização.

18 Exercícios

19 Os exercícios a seguir exploram os recursos do Geogebra e foram definidos com base na lista de assuntos de Matemática nos quais os alunos da Escola Jarbas Passarinho possuem mais dificuldades. Motivação

20 Exercício 1 – definição Demonstração do cálculo da área de um: a)Paralelogramo b)Triângulo c)Losango d)Trapézio Assunto: Geometria Plana (apoio para ensino da Geometria Espacial);

21 Exercício 1 – passo a passo 1.Criar os polígonos. Dica: construir o paralelogramo fracionado em 1 quadrado e 2 triângulos. 2.Partindo da área do retângulo, fazer as manipulações necessárias para concluir a demonstração.

22 Exercício 1 – resultados a) b) c) d)

23 Exercício 1 – resultados a) b) c) d)

24 Provar o Teorema de Pitágoras através do uso de áreas. Assunto: Relações Métricas no Triângulo retângulo Exercício 2 – definição

25 Prova I 1.Construir um quadrado composto de outros dois quadrados menores de lados b e c, e quatro triângulos; 2.Retirar os dois quadrados e alterar a posição dos triângulos. Prova II 1.Construir um trapézio de altura b + c, de base menor b e base maior c; 2.Calcular a área do trapézio; 3.Igualar a área do trapézio à área das figuras que o compõem. Exercício 2 – passo a passo

26 Exercício 2 – resultado

27 Provar: a) Lei dos Senos Assunto: Lei do seno e do cosseno Exercício 3 – definição

28 Exercício 3 – passo a passo Lei dos Senos 1.Definir triângulo inscrito, seno, ângulo inscrito e ângulos que determinam arcos; 2.Criar um triângulo inscrito. Por um determinado vértice, traçar o diâmetro e projetar outro triângulo como na figura a seguir. Nos outros vértices o processo é semelhante.

29 Exercício 3 – resultado

30 Outras formas de calcular a área de um triângulo: a)Em termos de dois de seus lados e o seno do ângulo localizado entre eles; b)Do semi-perímetro e do raio inscrito. Assunto: Geometria Plana (apoio ao ensino da Geometria Espacial). Exercício 4 – definição

31 Exercício 4 – passo a passo 1.Definir seno, lei dos senos, polígono inscrito e circunscrito, área, perímetro e semi-perímetro. 2.Criar os casos. a) Utilizar altura em termo do seno b) Utilizar definição de área e de semi-perímetro.

32 Exercício 4 – resultado

33 Provar fórmula de ângulos internos de um polígono regular Exercício 5 – definição Assunto: Geometria Plana (apoio ao ensino da Geometria Espacial).

34 Exercício 5 – passo a passo 1.Definir ângulos internos e polígonos regulares. 2.Criar polígonos regulares 3.Dividir os polígonos regulares em triângulos isósceles com a base correspondente aos lados dos polígonos regulares.

35 Exercício 5 – resultado

36 Provar ângulos notáveis. Assunto: Relações Métricas no Triângulo retângulo Exercício 6 – definição

37 Exercício 6 – passo a passo 1.Definição de Seno, Cosseno e Tangente. 2.Definição das propriedades de um triângulo equilátero. 3.Criação de triângulos especiais. i.Triângulo a partir da altura de um triângulo equilátero. ii.Triângulo a partir da diagonal de um quadrado. 4.Calculo do Seno, Cosseno e Tangente.

38 Exercício 6 – resultado

39 Razões trigonométricas na circunferência. Assunto: Trigonometria no ciclo Exercícios 7 e 8 – tema

40 Exercícios 7 e 8 – resultado

41 Construção de: Cosseno, Seno e Tangente. Exercício 7 – definição

42 Exercício 7 – passo a passo Cosseno 1.Criar o círculo trigonométrico 2.Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro no centro e o último na reta perpendicular ao eixo X que passa pelo vértice na circunferência, nomeando esse ponto de cosseno.

43 Exercício 7 – resultado

44 Exercício 7 – passo a passo Seno 1.Criar o círculo trigonométrico 2.Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que passa pelo vértice na circunferência, nomeando esse ponto de seno.

45 Exercício 7 – resultado

46 Exercício 7 - passo a passo Tangente 1.Criar o círculo trigonométrico 2.Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que passa pelo vértice na circunferência. 3.Criar a reta que passa tangente à circunferência no ponto P(1,0) 4.Prologar o segmento centro-vértice na circunferência até a reta tangente e nomear o segmento apropriado de tangente.

47 Exercício 7 – resultado

48 Construção de: Cossecante, Secante e Cotangente. Exercício 8 – definição

49 Exercício 8 – passo a passo Secante e Cossecante 1.Criar o círculo trigonométrico; 2.Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que passa pelo vértice na circunferência; 3.Criar a reta tangente à circunferência no vértice do triângulo retângulo; 4.O ponto de intersecção dessa reta tangente com a reta OY nomeamos cossecante e com a reta OX nomeamos secante.

50 Exercício 8 – passo a passo Cotangente 1.Criar o círculo trigonométrico; 2.Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que passa pelo vértice na circunferência; 3.Criar a reta que passa tangente à circunferência no ponto P(0,1); 4.Prologar o segmento centro - vértice na circunferência até a reta tangente, nomeando o segmento apropriado de cotangente.

51 Exercício 8 – resultado

52

53 Explicar variações numa função afim, quando alterados o coeficiente angular a ou o coeficiente linear b, e numa função quadrática, quando se alteram os valores de a, b, c. Exercício 9 – definição

54 Exercício 9 – passo a passo 1.Definir a função que será criada; 2.Criar, dependendo da função, dois ou três controles deslizantes; 3.Criar a função desejada; 4.Mostrar a mudança nas variáveis, quando alterado o controle deslizante.

55 Exercício 9 – resultado

56 Gráfico da função logarítmica a partir da função exponencial Assunto: Função Logarítmica e Exponencial Exercício 10 – definição

57 Exercício 10 – passo a passo 1.Criar a reta y = x 2.Criar o controle deslizante “a” no intervalo desejado. 3.Criar a função exponencial f(x) = a^x Obs.: Com a variação do controle deslizante podemos mostrar o gráfico de vários exemplos da função logarítmica.

58 Caso a > 1 Exercício 10 – resultado

59 Caso 0 < a < 1 Exercício 10 – resultado

60 Simetria. Assunto: Simetrias Exercício 11

61 Definições: 1.Rotação 2.Translação 3.Reflexão 4.Simetria axial Exercício 11 – definição

62 Rotação 1.Criar o polígono e o ponto que se deseja rotacionar; 2.Rotacionar o polígono através da barra de ferramentas. Translação 1.Criar o polígono e o vetor tomado como base; 2.Transladar através da barra de ferramentas. Reflexão 1.Criar o polígono, as retas e/ou o ponto que será tomado como referência; 2.Refletir através da barra de ferramentas. Exercício 11 – passo a passo

63 Simetria axial 1.Criar o objeto e a reta que será tomada como base; 2.Refletir o objeto utilizando a barra de ferramentas. Simetria radial (criação da estrela) 1.Criar o quadrilátero BHID’’; 2.Criar ângulos com amplitude fixa de 72º e retas correspondentes; 3.Refletir o objeto utilizado a barra de ferramentas. Exercício 11 – passo a passo

64 Rotação. Exercício 11 – resultado

65 Translação. Exercício 11 – resultado

66 Reflexão. Exercício 11 – resultado

67 Simetria axial.

68 Exercício 11 – resultado Simetria radial.

69 GEOGEBRA NA SALA DE AULA Instrutores: Rodrigo Mendes (DMAT/UFPE) – Hugo Leonardo (DM/UFRPE) – Coordenador do projeto: George Valença (DEINFO/UFRPE) – Agosto/2014


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